排除中间定律是否暗示马丁·洛夫内涵类型理论中的公理K？

因此，我一直想知道，排除中间定律（LEM）是否暗示马丁·洛夫的内涵类型理论中的所谓公理K。公理K指出 实际上，我一直在尝试证明更一般的语句，即 但是通过等式归纳将减小为，我陷入了第一个问题。我也试图通过矛盾来进行，但是似乎没有用。

$$\Pi_{A : Type} \Pi_{x : A} \Pi_{p : \text{Id}(x,x)}, \text{Id}(p,\text{refl}_x)$$ $$\Pi_{A : Type} \Pi_{x, y : A} \Pi_{p,q : \text{Id}(x,y)}, \text{Id}(p,q)$$ $q$$\text{refl}_x$

这完全可以证明吗？

是的，LEM意味着K.见HOTT书定理7.2.5，被称为赫贝格定理，这表明，任何类型的可判定平等满足公理。如果我们假设排除中间，则所有类型都具有可判定的相等性。$K$

您的第二个原则称为UIP或身份证明的唯一性。它等效于Axiom K，请参阅HoTT书中的定理7.2.1（只需从7.2.5向上滚动一页）。在托马斯·斯特雷彻（Thomas Streicher）和马丁·霍夫曼（Martin Hofmann）的著名研究成果中，马丁·洛夫（Martin-Löf）内涵类型理论都无法推论出这两种观点。