在无类型的λ微积分中，最里面的约简是否是永久的？

（我已经在MathOverflow上问过这个问题，但是那里没有答案。）

背景

在无类型lambda演算，一个术语可以包含许多redexes，而不同的选择关于哪一个，以减少可能会产生非常不同的结果（例如，其在一步（β-）减小到y或自身）。减少位置的不同（顺序）选择称为减少策略。一个术语牛逼据说是正火，如果存在一个削减战略带来$(\lambda x.y)((\lambda x.xx)\lambda x.xx)$$\beta$$y$$t$$t$正常形式。如果每种简化策略都将t转化为正常形式，则项将被强烈归一化。（我不担心会发生什么，但是合流保证不会有不止一种可能性。）$t$$t$

如果每当t具有正常形式时，就可以说是一种归约策略正在规范化（从某种意义上说，这是最好的），这就是最终的结果。最左端的策略正在规范化。$t$

在频谱的另一端，如果每当有t项存在无限的还原序列时，就认为该还原策略是永久的（从某种意义上讲，这是最坏的可能性），然后该策略找到了这样的序列-换句话说，我们可能无法正常化，那么我们将。$t$

我知道永久减少策略和˚F b ķ分别由下式给出： ˚F b ķ（Ç [ （λ X 。小号）吨] ）= c ^ [ 小号[ 吨/ X ] ] 如果  吨  强烈正火˚F b ķ（ç [ （λ X 。小号）吨] ）= C ^ $F_\infty$$F_{bk}$ 和 ˚F ∞（Ç [ （λ X 。小号）吨] ）= c ^ [ 小号[ 吨/ X ] ] 如果  X  发生在  小号，或者如果  吨  是上正常形式˚F ∞（ç [ （λ X 。小号）

$$\begin{array}{ll} F_{bk}(C[(\lambda x.s)t])=C[s[t/x]] & \text{if $t$ is strongly normalizing} \\ F_{bk}(C[(\lambda x.s)t])=C[(\lambda x.s)F_{bk}(t)] & \text{otherwise} \end{array}$$ （在两种情况下，所指示的β-redex是最左边的一个中的术语Ç[（λX。小号）吨]-和对正常形式，减少战略是必然的身份）的战略˚F∞甚至是最大的-如果它当量浓度的一个术语，那么它已经使用了最长可能降低序列这样做。（例如，参见Barendregt的书中的13.4。） $$\begin{array}{ll} F_\infty(C[(\lambda x.s)t])=C[s[t/x]] & \text{if $x$ occurs in $s$, or if $t$ is on normal form} \\ F_\infty(C[(\lambda x.s)t])=C[(\lambda x.s)F_\infty(t)] & \text{otherwise} \end{array}$$ $\beta$$C[(\lambda x.s)t]$$F_\infty$

$\beta$

$$\begin{array}{ll} L(t) = t &\text{if $t$ on normal form}\\ L(\lambda x.s) = \lambda x. L(s) &\text{for $s$ not on normal form}\\ L(st) = L(s)t &\text{for $s$ not on normal form}\\ L(st) = s L(t) &\text{if $s$, but not $t$ is on normal form}\\ L((\lambda x. s)t) = s[t/x] &\text{if $s$, $t$ both on normal form} \end{array}$$

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从最左到最内的还原的自然直觉是它将完成所有工作-不会丢失redex，因此它应该是永久的。由于相应的策略对于（无类型的）组合逻辑是永恒的（对所有正交TRW来说，内在的减少都是永恒的），这并不像是完全不受束缚的乐观主义者...

$\lambda$

如果答案是“否”，那么指向反例的指针也将非常有趣。

我相信 $tt$ 与 $t=(\lambda x. (\lambda y.1) (x x))$ 将终止使用 $L$ 即使它无限减少。

第一步减少是： $L(tt)=L(t)t=L(\lambda x.(\lambda y.1) (x x))t=(\lambda x.L((\lambda y.1) (x x)))t=(\lambda x.1)t$。

第一步还原 $F_\infty$ 是 $F_\infty([(\lambda x.(\lambda y.1 (x x))) t]))=(\lambda y.1) (tt)$。