具有多项式大小的有根树中“短”路径数的下限

令为有根的二叉树。从的根到叶子的每条路径的长度为。每个节点始终有一个左子节点和一个右子节点，但它们可能是相同的（因此，总是有条路径）。的大小以为界。具有不同子节点的节点称为分支节点。 $T$ $T$ $n$ $T$ $2^n$ $T$ $O(poly(n))$

我们说两条路径是不同的，如果有一个共享分支节点，一条路径去往左子节点，另一条路径去到右子节点。很明显，中至少有一条具有分支节点的路径。否则，节点过多。 $T$ $O(\log n)$ $T$

如果我知道树中有分支节点，是否有分支节点的路径数有更好的下限？ $O(\log n)$ $\omega(\log n)$

graph-theory tree

— 马克·伯里
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@Marc：字母

（第5行）显然来自“第7行中的节点过多”吗？

T

$T$

— Oleksandr Bondarenko 2010年

@Marc：能否请您更精确地说明“如果两个路径在分支节点中使用不同的子节点，则它们是不同的”。您的意思是，如果存在这样的分支节点，并且它们使用不同的子节点，它们是不同的吗？

— Oleksandr Bondarenko 2010年

我编辑问题并尝试使其更加精确。

— 马克·伯里

那么只有一个路径（和

节点）的树呢？可以吗

n

$n$

— 彼得·索尔

这是一个很好的问题。这是允许的，但是这不是有趣的情况：）然后，我们应该对树中分支节点的数量

例如

分支节点

进行下限限制。

ω (\log n)

$\omega(\log n)$

— 马克·伯里

如果树中至少有分支节点，则下限是具有分支节点的路径。 $\Omega(\log n)$ $O(\log n)$ $\Omega(\log n)$

这可以实现：使用一棵具有一个长路径（长度）的树，其所有节点都是分支节点，树中没有其他分支节点。 $n$

这是下界的示意图。

首先，通过收缩不是分支节点的任何内部节点来压缩树。如果树的原始大小为，则新树必须仍为，因为您仅减少了节点数。现在，叶子的深度是该叶子原始路径上分支节点的数量，并且我们有一个完整的二叉树（每个节点的度数为2或0）。 $< n^c$ $< n^c$

如果没有深度叶子，则路径数比分支节点数，因此我们可以假设至少有一个叶子的深度。 $\Omega(\log n)$ $\Omega(\log n)$ $\Omega(\log n)$

接下来，回想一下卡夫的不平等现象。如果完整二叉树中一片叶子的深度为，则。 $d(v)$ $\Sigma_{v \mathrm{\ leaf}} 2^{-d(v)} = 1$

$n^c$ $O(\log n)$ $\log_2(n^{c+1}) = (c+1) \log_2 n$ $1/n$ $v$ $d(v)\leq (c+1) \log_2 n$ $\sum_{v\mathrm{\ low \ depth \ leaf}} 2^{-d(v)} > 1-\frac{1}{n}$ $\sum_{v\mathrm{\ low\ depth\ leaf}} 2^{-d(v)} < 1$

$2^{-k}$ $1$ $1-\frac{1}{n}$ $\log_2 n$ $\Omega(\log n)$ $O(\log n)$

— 彼得·索尔
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如果有人想知道为什么我称方程为不等式，那么卡夫的不等式对于完整的二叉树有一个等号。

— 彼得·索尔

谢谢您的回答。到目前为止，我还不知道卡夫的不平等。非常有用的不平等。

— 马克·伯里