线性时间中的“几乎排序”整数

我有兴趣对线性时间中的正整数值的数组进行排序（在采用均等成本度量的RAM模型中，即整数可以具有对数大小，但假定对其进行算术运算单位时间）。当然，使用基于比较的排序算法是不可能的，因此我对计算“近似”排序很感兴趣，即，计算一些置换通常不是真正排序的，而是的排序版本的“良好近似” 。我将假定我们按递减顺序对整数进行排序，因为它使续集的陈述更加令人愉快，但当然可以反过来说明问题。 $L = v_1, \ldots, v_n$ $v_{\sigma(1)}, \ldots, v_{\sigma(n)}$ $L$ $L$

用于近似的排序的一个可能的准则是以下的（*）：让 $N$ 是 $\sum_i v_i$ ，对于每 $1 \leq i \leq n$ ，我们要求（即， “准排序”列表从上方受递减函数。很容易看出实际排序满足以下条件：不得大于因此最多为，即，通常不得大于 $v_{\sigma(i)} \leq N/i$ $i \mapsto N/i$ $v_{\sigma(2)}$ $v_{\sigma(1)}$ $(v_{\sigma(1)} + v_{\sigma(2)})/2$ $\leq N/2$ $v_{\sigma(i)}$ $(\sum_{j \leq i} v_{\sigma(i)})/i$ ，即。 $\leq N/i$

例如，可以通过以下算法（@Louis建议）来实现要求（*）。我的问题是：是否通过强加诸如（*）这样的实际排序可以满足的要求来完成线性时间“几乎排序”整数的任务？下面的算法或它的某些变体是否具有确定的名称？

编辑：修复了算法并添加了更多说明

算法：

INPUT: V an array of size n containing positive integers
OUTPUT: T

N = Σ_{i<n} V[i]
Create n buckets indexed by 1..n
For i in 1..n
| Add V[i] into the bucket min(floor(N/V[i]),n)
+

For bucket 1 to bucket n
| For each element in the bucket
| | Append element to T
| +
+

由于以下原因，此算法按预期工作：

如果元素在存储桶则。 $v$ $j$ $v ≤ N/j$

$v$ 放入存储桶，因此 $j=\min(N/v,n)$ $j ≤ \lfloor N/v\rfloor ≤ N/v$
如果元素在存储桶则或。 $v$ $j$ $N/(j+1) < v$ $j=n$

$v$ 放入存储桶，因此或。在第一种情况下，，这意味着，因此。 $j=\min(N/v,n)$ $j = \lfloor N/v \rfloor$ $j=n$ $j=\lfloor N/v\rfloor$ $j ≤ N/v < j+1$ $N/(j+1) < v$
对于，存储桶中从1到最多有元素。 $j<n$ $j$ $j$

令，令为桶1..j之一中元素的总数。通过2.我们有每个元素在水桶（与）是这样的，。因此，存储桶中从到的所有元素的总和大于。但是这个和也小于因此，因此，这使我们或。 $j<n$ $k$ $v$ $i$ $i ≤ j$ $N/(j+1)≤N/(i+1)<v$ $K$ $1$ $j$ $k×N/(J+1)$ $K$ $N$ $k×N/(j+1) < K ≤ N$ $k/(j+1) < 1$ $k<j+1$ $k≤j$
$T$ 满足（*）即的个元素使得 $j$ $T$ $T[j] ≤ N/j$

由3.我们有，所述的个元素，来自铲斗与因此。 $T[j]$ $j$ $T$ $i$ $i ≥ j$ $T[j] ≤ N/i ≤ N/j$
该算法需要线性时间。

的计算需要线性时间。可以使用具有插入和迭代的链表来实现存储桶。嵌套循环运行的次数与元素的运行次数相同（即次）。 $N$ $O(1)$ $n$

reference-request time-complexity sorting

— 3纳米
source

不忽略这个问题（+1，这是一个很好的问题），但是基数排序是否会超出您的需求？

— user541686 '17

@Mehrdad：感谢您的评论！基数排序将对整数进行排序，但是将花费时间

。

O (n \log (max_{i} v_{i}))

$O(n \log (\max_i v_i))$

— a3nm

您能评论一下那个时间复杂性到底是什么不希望的吗？例如，您是否有一个非常大的整数而其他所有东西都很小？

— user541686 '17

@ a3nm基数排序不是O（n log n），而是O（n），因此如果整数的大小是固定的（例如32位数字或64位数字），则为线性。您排序的数字大小是否可变？

— Xavier Combelle'4

@XavierCombelle：是的，我在RAM模型中工作，我不能假设输入整数受常数限制。

— a3nm

Answers:

这听起来很像ASort算法。参见Giesen等的这篇文章。等：

https://www.inf.ethz.ch/personal/smilos/asort3.pdf

不幸的是，运行时间不是很线性。上面的文章证明，在内对项进行排名的任何基于比较的随机算法都具有的下限（假设）。 $n$ $n^2/\nu(n)$ $n*log (\nu(n))$ $\nu(n) < n$

编辑，以回答问题中的澄清：

您正在执行的操作只是一个存储桶排序。但是，在这种情况下，存储桶排序算法不是线性的。问题是：您必须对自然数求和，然后对它们中的每一个进行除法。由于数字的大小不受限制，因此不再是恒定时间的运算。执行更多的数字求和将需要更长的时间。 $N/V[i]$

要多久除法取决于位数，所以它是乘以除法运算。这听起来很熟悉。:) $lg(n)$ $n$

— 翠西·沃尔夫
source

感谢您为我们指出这篇文章！确实，这与问题有点相关。但是，我的算法（既不是原始版本也不是稍有不同的修订版本）与ASort;不太相似。首先，我相信我的算法在

运行，而不是像ASort这样在超线性时间内运行。其次，标准（*）与估算Spearman的尺距有很大不同。例如，标准（*）取决于整数的值或多或少是严格的，这与页脚距离不同。第三，尽管我们的算法和ASort都是存储元素，但条件却大不相同。

O (n)

$O(n)$

— a3nm

@ a3nm对上面发布的内容的澄清表明您使用的是存储桶排序，它是线性的（不是基于比较的，这意味着要相互测试两个项目）。问题在于它不适用于所有数学整数。仅当整数大小有界时才有效。

— Trixie Wolf，

当您说“仅在整数大小有界时才有效”时，我认为只有在对整数进行实际排序时，这才是正确的。但总的来说，我发布的算法实际上并没有对它们进行排序，它仅执行较弱的条件（*）。因此，即使整数大小不受限制，我也确实认为它可以线性运行。

— a3nm

@ a3nm不是线性的。请参阅上面的扩展响应。

— Trixie Wolf

感谢您的回答，对于延迟，我们深表歉意。我认为该模型有些混乱。我正在用统一的时间量度在RAM模型中工作（如van Emde Boas，《计算机模型和仿真》，《计算手册》中所述）：因此，我操纵的数字可以具有对数大小，但是对这些数字的算术运算具有单位成本。我已经相应地编辑了我的问题。我认为，在该模型中，我提出的算法实际上是在线性时间内运行的（但是，在该模型中，当然仍然适用基于比较的实际排序的

下限）。

n \log n

$n \log n$

— a3nm

事实证明，我的问题毕竟是无关紧要的。确实，我正在用统一的成本度量方法在RAM机器上工作（即，我们有一些寄存器，这些寄存器的大小不必一定是恒定的，但最多可以在输入中存储对数大小的整数，并且这些寄存器上的操作需要一定的时间，包括至少要加上）。实际上，在此模型中，可以在线性时间内完成对整数的排序（实质上是通过执行基数排序）。Grandjean在1996年的论文《排序，线性时间和可满足性问题》中对此进行了解释。

（这并不能回答我关于是否存在对一组整数进行“几乎排序”的充分研究的问题，但要使它们有趣，可能需要这些较弱的概念来更容易实施，即对较弱的概念进行工作。模型或以某种方式在亚线性时间运行。但是，我目前尚不了解这种情况。）

— 3纳米
source