DFA的过渡Monoid成员资格

给定完整的DFA，我们可以为每个定义函数的集合，并使用，。我们可以将此概念推广为单词和，其中表示函数组成。此外，我们将表示为而是单半体。 $A=(Q, \Gamma, \delta, F)$ $f_a$ $a\in \Gamma$ $f_a:Q\rightarrow Q$ $f_a(q)=\delta(q, a)$ $w=a_1, \cdots, a_m$ $f_w=f_{a_1}\circ \cdots \circ f_{a_m}$ $\circ$ $G=\{f_w\mid w\in \Gamma^*\}$ $G$

[ 在标准教科书中，通常称为过渡monoid，但在此我为了清晰起见而复制了该定义。] $G$

问题是，给定一个函数，我们可以确定（理想情况下是多项式时间），如果是这种情况（即，存在使得），则是否是多项式长，还是可以指数长？ $f:Q\rightarrow Q$ $f\in G$ $w$ $f=f_w$ $w$

[我想这样的词确实可能成倍地长，但是我正在寻找一个简单的例子。]

automata-theory regular-language monoid

— 毛毛
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可判定性

这是可以决定的。仅存在有限多个可能的功能，所以可以建模此作为一个图可达性问题，每个功能一个顶点和边缘，如果存在使得。然后，测试函数是否在简化为测试从在图形中是否可到达。您可以使用广度优先找到最短的此类单词。但是，运行时间在可能是指数的。 $f:Q \to Q$ $g \to h$ $a \in \Gamma$ $h = f_a \circ g$ $g$ $G$ $g$ $f_\epsilon$ $Q$

字长

最短的单词可能会成倍增长。这是此类DFA的示例。令为前素数。这样，状态将为形式其中和。使用一元字母和转换函数定义DFA，并给出函数通过 $p_1,\dots,p_k$ $k$ $(i,x)$ $i \in \{1,\dots,k\}$ $x_i \in \{0,1,\dots,p_i-1\}$ $\Gamma=\{0\}$ $\delta((i,x),0 = (i,x+1 \bmod p_i)$ $f_0 :Q \to Q$

f_{0} (i, x) = (i, x + 1 mod p_{i}) .

$f_0(i,x) = (i,x+1 \bmod p_i).$

现在考虑函数由下式给出 $g:Q \to Q$

g (i, x) = (i, x - 1 mod p_{i}) .

$g(i,x) = (i,x-1 \bmod p_i).$

可以使用中文余数定理证明其中，而是最短的此类单词。此外，，因此在呈指数增长。 $g = f_{0^n}$ $n=p_1 \times p_2 \times \cdots \times p_k -1$ $0^n$ $|Q|= p_1 + \dots + p_k$ $n$ $Q$

因此，没有希望输出这种单词的多项式时间算法。但是，这仍然为确定是否在中提供了多项式时间算法的可能性。 $g$ $G$

— DW
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