哪些2P1R游戏可能会很锋利？

两人一轮（2P1R）比赛是逼近硬度的必要工具。具体来说，两次证明单轮比赛的并行重复提供了一种增加近似问题的决策版本中差距大小的方法。有关该主题的概述，请参见Ran Raz在CCC 2010上的调查报告。

游戏的并行重复具有惊人的特性，尽管随机验证者可以独立运行，但两个玩家可以以非独立方式玩游戏，比单独玩每个游戏获得更好的成功。成功的数量在上面受Raz的平行重复定理限制：

定理：存在一个通用常数$c$因此对于每一个2P1R游戏$G$，其值均为$1-\epsilon$，答案大小为$s$，平行重复游戏$G^n$值最高为$(1-\epsilon^c)^{\Omega(n/s)}$。

这是识别此常数的工作概述$c$：

• 拉兹的原始论文证明$c \leq 32$。
• Holenstein改善这$c \leq 3$。
• 饶表明，$c' \leq 2$就足够了（并且在依赖$s$被移除）用于投影游戏的特殊情况。
• 拉兹（Raz）提出了一种奇数周期游戏的策略，该策略表明饶（Rao）的结果对于投影游戏很敏锐。

通过这个机构的工作，我们知道$2 \leq c\leq 3$。我的两个问题如下：

问题1：该领域的专家是否对的确切值有共识$c$？

如果认为$c > 2$，那么有没有投影的特定游戏，但是还特别违反了Rao证明所需的投影游戏的额外属性。

问题2：如果，哪些有趣的游戏违反了饶的策略，并且有可能成为鲜明的例子？$c > 2$

从我自己的阅读来看，Rao使用的投影游戏的最重要的属性似乎是，一个很好的并行重复策略不会对某些问题使用很多可能的答案。这在某种程度上与投影游戏的位置有关。

我倾向于认为c = 3是一般情况的正确答案，应该可以举一个例子。我必须进一步考虑才能确定。这是一个很好的问题，我不知道有关它的现有工作。

最近的研究集中在哪种类型的游戏（最大可能）c = 1上，主要是因为可能将其应用于独特游戏的放大。

• Barak等人将Raz的反例推广到所有具有SDP差距的独特游戏。
• 拉兹（Raz）和罗森（Rosen）指出，对于扩大投影游戏，c = 1。这些作者的免费游戏的超集也有以前的结果。

为了使事情顺利进行，我有一个潜在的游戏，希望获得反馈。

$k \geq 2$$m$$3k+1$C k m k + 1 C k m m m k k + 1 C k m { 1 ，… ，k } { 0 ，… ，m − 1 } k + 1 { 0 ，… ，m − 1 } 米k + $m \not\equiv 0 {\pmod {k+1}}$$C_{m}^k$$k+1$$C_m^k$$m$$m$$k$$k+1$$C_m^{k}$$\{1,\dots,k\}$和着色的数字的顺序，由于每个组顺序的中的整数形成集团。由于不是的倍数，因此在某些情况下此着色将失败。$\{0,\dots,m-1\}$$k+1$$\{0,\dots,m-1\}$$m$$k+1$

验证者要么要求两个玩家提供一个顶点，以验证颜色是否匹配，要么要求边缘来验证颜色是否不同。

我认为这是一个很好的例子，原因有两个：

1. 它与奇数周期游戏非常相似，因此可以构建类似于Raz下限的策略。该策略的重要部分是使用共享随机性在重复中随机选择颜色。

2. 通过随机化随机生成的颜色中使用的排列，每个顶点给出的答案数量以统一的方式跨越整个答案集，从而攻击Rao的策略。

这个游戏已经被考虑/解决了吗？