将二进制关系分布到容器中，以便每个元素都位于少量容器中

给我们成对的对象（例如数字）。每个对象最多出现对。我们的目标是将这些对分配到大小相等的垃圾箱中，以使每个对象出现在尽可能少的不同垃圾箱中。 $q$

更准确地说，我们对函数感兴趣，该函数具有以下特性：对于具有对的每个二进制关系（每个对象最多对），将这些对分布到仓中，这样每个仓接收对（应该除以），并且没有对象出现在超过 bin中。 $f$ $m$ $q$ $p$ $m/p$ $p$ $m$ $f(m,q,p)$

这个问题出现在我们关于并行查询评估的研究中。人们可能希望比。的“正确”大小不太清楚。一个有趣的大小可能是。不依赖于函数，但只适用于一定范围内的也将是有用的（但不是）。 $m$ $p$ $q$ $q$ $\sqrt{\frac{m}{p}}$ $q$ $q$ $q=O(1)$

实际上，我们位于形式的边界之后，尽可能大... $p^{1-\epsilon}$ $\epsilon>0$

combinatorics

— 托马斯·S
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用图术语表示：给定一个整数和一个具有边的图，每个顶点的度数最多为，找到个子图，其中，使得和是划分为部分的部分，每个部分的大小为，并且每个顶点最多出现在图的个图中。您的目标是最小化。最好的上限是多少

p $p$

G=(V,E) $G=(V,E)$

m $m$

q $q$

p $p$

G1,G2,…,Gp $G_1, G_2, \ldots, G_p$

Gi=(Vi,Ei) $G_i=(V_i, E_i)$

V=⋃iVi $V=\bigcup_i V_i$

{Ei}i $\{E_i\}_i$

E $E$

p $p$

m/p $m/p$

v∈V $v\in V$

k $k$

(maxv|{i:v∈Vi}|≤k) $(\max_v |\{i : v\in V_i\}| \le k)$

k $k$

k $k$ 可以显示给定的，和？

m $m$

p $p$

q $q$

— Neal Young

那就对了。就图而言。问题的答案是：。确实，如上所述，我们对形式为边界很感兴趣，而对于则没有任何约束。

p $p$

p1−ϵ $p^{1-\epsilon}$

ϵ>0 $\epsilon>0$

— Thomas S

一个特殊的情况开始：令是一个奇数整数。可以将整个图的边分成大小为个子集，这样，对于每个顶点，包含入射到该顶点的边的子集的数量为，对于？我敢肯定，任何 ---取随机顶点子集，每个子集的大小为。然后，每个顶点很有可能在大约个顶点子集中，而每个对都在大约

n≥1 $n \ge 1$

(n2) $n\choose 2$

Kn $K_n$

n $n$

（n − 1 ）/ 2 $(n-1)/2$

O(n1−ϵ) $O(n^{1-\epsilon})$

ϵ>0 $\epsilon>0$

ϵ<1/2 $\epsilon<1/2$

n $n$

n1−ϵ $n^{1-\epsilon}$

(i,j) $(i,j)$

n1−2ϵ $n^{1-2\epsilon}$ 个子集。现在将对分配给子集...

— Neal Young

在这种情况下，节点可首先分配到集大小的（认为间隔）。然后每个bin得到两个这样的集合的乘积（我正在考虑完整的有向图，它更易于陈述，并且渐近没有太大差异）。因此，每个顶点都出现在箱中，也就是说，在这种情况下为。

ñ--√ $\sqrt{n}$

一世× J $I\times J$

ñ--√ $\sqrt{n}$

ϵ = 12 $\epsilon=\frac{1}{2}$

— Thomas S

对于星形图（边缘入射到一个顶点），顶点必须位于个子图中的每个子图中，因此对于这种情况，小于的边界是不可能的。我想这就是为什么限制最大度数。也许您可以对此说一些更明确的定义，因为这似乎是一个至关重要的假设。同时，我在下面留下了一个观察结果（不是一个答案，但太大了，无法作为评论！）。

n − 1 $n-1$

[R $r$

p $p$

q $q$

— Neal Young

这不是答案。 只是有些琐碎的观察，WLOG可以放宽对边缘子集的大小完全相同的要求，而只是寻找任意数量的。也许这有助于思考问题。 $p$ $\{E_i\}_i$ $O(\textsf{the desired size})$

固定任何图和整数。令 $G=(V,E)$ $p\ge 1$ $s=\lceil |E|/p\rceil$

引理。 假设存在子图，从而将划分为大小为（任意数量的）部分。令是任何顶点所在的最大零件数。 $\{G'_j=(V'_j,E'_j)\}_j$ $\{E'_j\}_j$ $E$ $O(s)$

M = max v \in V | {j : v \in V' j} |

$M = \max_{v\in V} |\{j : v\in V'_j\}|$

然后有个子图使得将精确地划分为部分，每个部分的大小最大为和 $p$ $\{G_i=(V_i,E_i)\}_i$ $\{E_i\}_i$ $E$ $p$ $s=\lceil |E|/p\rceil$

max v \in V | {i : v \in V i} | = O (M) .

$\max_{v\in V} |\{i : v\in V_i\}| = O(M).$

证明。 从序列，用该部分中包含的边的任何有序序列替换序列中的每个部分。让是得到的序列（的置换使得每个部分是一些“间隔”边缘在序列）。现在将此序列划分为个连续的子序列，以使除最后一个序列以外的每个子序列的大小为，并让包含第个连续的子序列中的边。（所以 $E'_1, E'_2, \ldots, E'_{p'}$ $E'_j$ $e_1, e_2, \ldots, e_m$ $E$ $E'_j$ $\{e_a, e_{a+1}, \ldots, e_b\}$ $p$ $s$ $E_i$ $i$ $E_i = \{e_{i\,s+1}, e_{i\,s+1}, \ldots, e_{(i+1)s}\}$ 对于。） $i<p$

通过假设每个部分大小为，并通过设计每个部分除了最后一个部分大小为，因此（由于的定义方式）任何给定部分的边缘分为部分。这以及每个顶点都出现在中最多个部分中的假设，意味着每个顶点都出现在中不超过个部分中。QED $E'_j$ $O(s)$ $E_j$ $E_p$ $s$ $\{E_i\}_i$ $E'_j$ $O(1)$ $\{E_i\}_i$ $M$ $\{E'_j\}_j$ $O(M)$ $\{E_i\}_i$

— 尼尔·杨（Neal Young）
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