任何可在P时间内计算但不可计算的超越数

是否存在任何已知的可计算先验数，使得其 $n$第一位数字可在多项式时间内计算，但不能在多项式时间内计算 $O(n)$？

这是这样一个数字的构造。您可以争论这是否意味着这样的数字是“已知的”。

承担任何职能 $f$ 从 $\mathbb{N}$ 至 $\{ 1, 2, \ldots, 8 \}$ 在哪里 $n$第一位数字不可计算 $O(n)$时间。例如，通过通常的对角化技术存在这种功能。口译$f(n)$ 作为 $n$某个实数的第一个十进制数字 $\alpha$。现在，对于每个$n$ 的形式 $2^{2^k}$， $k \geq 1$，更改的位数 $\alpha$ 在位置 $n, n+1, \ldots, 3n$ 至 $0$的。结果数$\beta$ 显然保留了 $n$第一位数字不可计算 $O(n)$ 时间，但是按有理有无穷的非常好的近似，按顺序说 $O(q^{-3})$，形式为 $p/q$。然后根据罗斯定理$\beta$不能是代数的。（这是不合理的，因为它具有任意长的$0$的两端都由非零引起。）

更普遍地，对于任何常数 $k\ge1$，在多项式时间内有可计算的先验数，但在时间上没有 $O(n^k)$。

首先，根据时间层次定理，存在一种语言 $L_0\in\mathrm E$ 无法及时计算 $O(2^{kn})$。我们可以假设$L\subseteq\{0,1\}^*$，我们还可以假设所有字符串 $w\in L$ 长度可被 $3$。

第二，让 $L_1$ 是...的一元版本 $L_0$。为了确定性，对于任何$w\in\{0,1\}^*$，让 $N(w)$ 表示其二进制表示为的整数 $1w$，然后放 $L_1=\{a^{N(w)}:w\in L_0\}$。然后$L_1\in\mathrm P$，但是 $L_1$ 无法及时计算 $O(n^k)$。此外，$L_1$ 具有以下属性：对于任何 $m$， $L_1$ 不包含任何 $a^n$ 这样 $2^{3m+1}\le n<2^{3m+3}$。

第三，让

$$\alpha=\sum\{2^{-n}:a^n\in L_1\}.$$ （我在这里假设问题是关于二进制数字的计算。如果不是，则 $2$ 上面的内容可以用任何所需的基数替换，没关系。

然后 $\alpha$ 在多项式时间内是可计算的，因为我们可以计算它的第一个 $n$ 通过检查是否位 $a,a^2,\dots,a^n$ 在 $L_1$。出于同样的原因，它无法及时计算$O(n^k)$，作为 $n$-第一位确定是否 $a^n\in L_1$。

对于任何 $m$，让

$$p=\sum\{2^{2^{3m+1}-n}:n\in L_1,n<2^{3m+1}\}=\lfloor\alpha2^{2^{3m+1}}\rfloor,$$ 和 $q=2^{2^{3m+1}}$。然后 $$\left|\alpha-\frac pq\right|\le2^{-2^{3m+3}}=q^{-4}.$$ 从而， $\alpha$ 至少具有非理性措施 $4$因此，根据罗斯定理，它是超验的。