线性逻辑背后的直觉是什么？

我试图了解线性逻辑，以更好地了解线性类型系统。但是，当我阅读规则时，却无法像在模态逻辑中所做的那样获得直觉-表示是必需的，就像在Kripke框架中一样对每个可到达的世界都是必需的[ is is可以比照。但是我找不到任何关于二元性的直观解释，以及哪些连词/取对（如果有）对应于和。 $\Box A$ $A$ $A$ $\Diamond A$ $A$ $\land$ $\lor$

lo.logic type-theory linear-logic

— 麦琪（Maciej Piechotka）
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如果您想了解Girard背后的直觉，则可以查看Girard的原始论文。问题仍然是过于笼统的imo，答案是看Wikipedia页面上的线性逻辑。

— 卡夫

我同意这有点太麻烦了，而且绝对不是研究水平，也许您应该在CS Stack Exchange上提问。但是，我不鼓励您使用吉拉德（Girard）的原始论文作为线性逻辑的切入点。也许维基百科是一个更好的起点。

— 达米亚诺·马扎

这是相当广泛的。也许有一种建议可能会开始将公式视为可以花费的“货币”，而不是真理的陈述。然后，结合可能是

a \otimes b

$a \otimes b$ 这意味着我们可以花既是

a

$a$ 硬币和

b

$b$ 硬币。另一种连接可以是

a & b

$a \& b$ ，这意味着我们可以在支出

a

$a$ 和支出

之间进行选择

b

$b$ （但不能同时选择两者！）。正如Damiano所建议的，您可以在Wikipedia上找到一些示例。

— 志

@chi我不确定“资源解释”是理解LL中对偶性的最佳方法。流程的解释更容易理解。

— 马丁伯杰

我不确定这个问题是否适合CSTheory，但是鉴于它已经在收集投票，因此，如果将该问题发布在cs.stackexchange上，则可能有人会给出答案。

为了理解线性逻辑的对偶性的概念，它使合取和分离的作用远比我们在常规逻辑中所习惯的分开，我建议不要在资源方面考虑线性逻辑（尽管这是一个重要的读物）。而是将线性逻辑公式视为在端口/名称/通道进行通信的进程。据我所知，这种解释已首先在（1）中得到充实，但在吉拉德的原始作品中已经提到过。如图： $(\cdot)^{\bot}$ $A$

（我不知道如何正确地中心的图像在这里。）线性结合被解释为正在运行的进程和在并行。过程通信对在它的端口，其中来自和是的通信。 $A \otimes B$ $A$ $B$ $A \otimes B$ $(a, b)$ $a$ $A$ $b$ $B$

对偶化 （这是线性逻辑的取反）用于切换输入和输出。因此，双是 $(.)^{\bot}$ $A \otimes B$

(A \otimes B)^{⊥} = A^{⊥} ⅋ B^{⊥}

$(A \otimes B)^{\bot} \quad = \quad A^{\bot} ⅋ B^{\bot}$

在该读出是处理与连通。 $A^{\bot} ⅋ B^{\bot}$ $A \otimes B$

线性逻辑等效的析取可以给出类似的过程理论读数。公式

A & B

$A\ \&\ B$

还应该将它们视为并行的两个进程和，但是它们没有主动发送消息，而是等待环境决定运行哪个进程。因此，坐在那里，在其通道上等待一些信息，这些信息决定了应以还是以身份运行。这是一个“平行”版本在顺序programmaning语言。双重 $A$ $B$ $A \& B$ $A \& B$ $A$ $B$ $if/then/else$ $(A \& B)^{\bot}$ 的是 $A \& B$

（ 一种 和 乙 ）^{⊥} = {一种}^{⊥} \oplus 乙^{⊥}

$(A \& B)^{\bot} \quad = \quad A^{\bot} \oplus B^{\bot}$

可以看作是向发送1位信息的过程，即：“以继续”或“以继续”。这类似于在评估到而评估到，不同之处在于选择之间 $A \& B$ $A$ $B$ $if\ true\ then\ P\ else\ Q$ $P$ $if\ false\ then\ P\ else\ Q$ $Q$ 和现在由环境制成。 $A$ $B$

！运算符还具有过程理论的解释：如果

视为过程，则

可以将

理解为并行运行无限多个进程

A

$A$

! A

$!A$

A

$A$

在该读出公理线性逻辑成为简单的“线”的，从过程转发消息到过程。对公理的这种解释已经在吉拉德的证明网中（3）。 $A \vdash A$ $A^{\bot}$ $A$

这个过程理论的解释很有影响力，并引起了很多后续工作，例如会话类型的（2）。尽管如此，在某些极端情况下它还是有些尴尬，据我所知，即使在2017年，它也无法完美地适用于完整线性逻辑。

_{1. S. Abramsky，《线性逻辑的计算解释》。

2. P. Wadler，命题作为会议。

3.维基百科，证明网。}

— 马丁·伯格
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