DSPACE（O（s（n）））中的时间层次结构

时间层次定理指出，图灵机有（足够）更多的时间可以解决更多的问题。如果空间渐近受限，它是否以某种方式成立？如何$\textrm{DTISP}(g(n), O(s(n)))$涉及$\textrm{DTISP}(f(n), O(s(n)))$如果$\frac{f}{g}$增长足够快？

我对$s(n) = n$，$g(n) = n^3$和的情况特别感兴趣$f(n) = 2^n$。

具体地讲，我考虑的以下语言： $L_k := \{ (\langle M \rangle, w) \; : \; \text{M rejects } (\langle M \rangle, w) \text{ using at most } |\langle M \rangle, w|^3 \text{ time steps},$ $k * |\langle M \rangle, w| \text{ cells and four different tape symbols} \}$

然而，$L_k$可以在决定$n^3$步骤使用$(k+1)n \in O(n)$空间。

在不将限制$M$为四个磁带符号并因此将$O(n)$单元压缩为$n$单元的情况下，当模拟具有太多磁带符号的时会遇到空间问题$M$。在这种情况下，该语言不再存在于$\text{DSPACE}(O(n))$。当将$k = h(|w|)$为可以快速计算的某个$h$，也会发生同样的情况。

这个问题基本上是我在这里的问题的改写。

编辑总结： 更改$\textrm{DSPACE}(s(n)) \cap \textrm{DTIME}(f(n))$到$\textrm{DTISP}(f(n), s(n))$，但是，我认为，交集也是值得思考的问题。

$\mathrm{DTISP}(O(n \log n),O(n)) = \mathrm{DSPACE}(O(n))$$\mathrm{NSPACE}(O(n))$$\mathrm{DTIME}(O(n))⊆\mathrm{DSPACE}(O(n/\log n))$

但是，在合理的计算复杂性猜想下，存在适当的层次结构。例如，如果对于每个，则CIRCUIT-SAT io io-，则 其中，为，并且是时空可构造的。O （2 n - ε$ε>0$$O(2^{n-ε})$$\mathrm{DTISP}(O(f),O(s(n))) ⊊ \mathrm{DTISP}(O(f^{1+ε}),O(s(n)))$
$f(n)≥n$$f(n)$$2^{o(\min(n,s(n)))}$$f$

特别是（假设下），用于与电路一个满足分配的存在输入和大小供应作为类平等的反例。$⌊\mathrm{lg}(f^{1+ε/2})⌋$$(\log f)^{O(1)}$

笔记：

• CIRCUIT-SAT至少与 -SAT（在强指数时间假设中使用）一样硬。$k$

• 按照惯例，在CIRCUIT-SAT中，是输入线的数量；电路尺寸为。$n$$n^{O(1)}$

• 如果假设对准线性电路大小使用CIRCUIT-SAT，则可以将的边界放宽为。同样，对CIRCUIT-SAT硬度的较弱/较强的假设会给出较弱/较强的层次结构（我们目前可以证明）。$f(n)$$O((2-ε)^{\min(n,s(n))})$

• io无限期地意味着，并且可以在某种意义上连续（包括）的丢弃。$f$$f(n)=n^a$

• 似乎DTISP层次结构足够清晰，可以将与（可能还有）区分开（当相对于允许空间不太大时）。$O(f)$$o(f/\log f)$$o(f)$$f$

• 为了区分和，我们只需要较弱的假设P≠PSPACE。$n^a$$2^n$