保持增长的无向图的平衡生成树

我正在寻找方法来维护图的相对平衡的生成树，因为我向图添加了新的节点/边。

我有一个无向图，该图以单个节点“根”开始。

在每个步骤中，我都会在图上添加一个新节点和将其连接到图的边，或者仅添加一个新的边来连接两个旧节点。随着图形的增长，我会维护一棵生成树。大多数情况下，这意味着当我添加新节点和边时，会将新节点设置为它所连接的旧节点的子节点。

我无法控制新节点的添加顺序，因此上述树构建算法显然会导致生成树不平衡。

有谁知道在线启发式技术可以使生成树“相对平衡”，同时最大程度地减少重新树的工作量？我对树结构有完全控制。我无法控制的是图形连接性，或者添加新节点的顺序。

请注意，标准的Google对诸如“平衡”，“生成”和“树”之类的术语的响应似乎是二叉树和B树，两者均不适用。我的图节点可以具有任意数量的邻居，因此树节点可以具有任意数量的子代，而不是像二叉树那样的2个子代。B树通过更改其邻接表来保持平衡，而我无法更改图的连接性。

每次添加带有边的新顶点时，都没有选项。每次添加新边时，如果当前到根的距离大于通过新边的距离，则删除旧的最短路径中的旧边并添加新的边。否则，您只需保持树不变。我认为通过这种方式，您得到的东西与BFS树非常相似，因为树的级别将包含相同的顶点，并且顶点到根的距离将与BFS树中的距离相同（并且在该图），但我不知道这是否足以满足您的“理想平衡生成树”条件。

我最终做了以下工作：

Vinicius Santos的答案是第一部分。如他所说，在任何帧上，我要么添加一个新节点并连接一个父子边缘，要么在两个现有节点之间添加一个交叉边缘。父子边缘没有提供更改树结构的机会，只有交叉边缘可以提供。考虑在节点A和B之间添加交叉边缘E，其中B具有更大的树深。如果（A.depth + 1）<B.depth，那么我们可以通过将B.depth设为A的子元素来减少它。

减小了B的深度之后，我们现在必须检查B的邻居，看看它们是否可以成为B的子元素来减小其深度。因此，我们从B执行广度优先遍历，如果X则从X到Y遍历一条边。 depth + 1 <Y.depth，并将Y设为X的子级。