这个“亚群包装”多表位是整体的吗？

令为一个有限的阿贝尔群，并令为的多面体，定义为满足以下不等式的点： $\Gamma$ $P$ $\mathbb{R}^\Gamma$ $x$

\begin{array}{cl} \sum_{g \in G} x_{g} \leq | G | & \forall G \leq Γ \\ x_{g} \geq 0 & \forall g \in Γ \end{array}

$\begin{array}{cl} \sum_{g\in G} x_g \le |G| & \forall G \le \Gamma \\ x_g \ge 0 & \forall g \in \Gamma \end{array}$

其中表示是的子组。是整数吗？如果是这样，我们可以表征其顶点吗？ $G \le \Gamma$ $G$ $\Gamma$ $P$

我的问题最初是由，其中一些小例子（）提示答案是“是”和“也许，但这并不简单”。我还尝试了9个和10个元素上的循环基团，以及，其中多面体也是不可或缺的。当是，和任何一个时，多面体不是整数，因此，阿拉伯语显然是必不可少的。 $\Gamma = \mathbb{F}_2^n$ $n = 2,3$ $\mathbb{F}_3^2$ $\Gamma$ $S_3$ $D_4$ $D_5$

我应该提到，如果您将第一组方程写为，则不一定是完全单模的（这意味着多边形是整数）。当，可以选择三个线性独立，并采取三个的由每对的选定元素跨越。最终的子矩阵为直到置换为止，行列式也是如此。 $Ax \ge b$ $A$ $\Gamma = \mathbb{F}_2^3$ $g$ $G$ $g$

[\begin{matrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{matrix}]

$\begin{bmatrix}0&1&1\\1&0&1\\1&1&0\end{bmatrix}$

\pm 2

$\pm 2$

容易（如果很乏味）来描述素数阶顶点的顶点并观察它们是不可分割的。我很确定这可以扩展为周期性组，并具有素数幂。我不确定服用产品时会发生什么。

这个系统非常让人想起那些定义多类拟态的系统，但不是子模块集函数，约束是一个“子组函数”，一旦定义正确，我怀疑它们是“子模块”。尽管如此，用于显示某些多类脉络是不可或缺的技术也可以在这里使用，但是我不知道如何。

另外，傅立叶分析可能是相关的：当，似乎顶点最大化是完全与点对于所有，以及那些与其中，是第个傅立叶字符（遵循布尔函数分析的标准表示法），而空。（当为空时，对应点是，这也是一个顶点。） $\Gamma = \mathbb{F}_2^n$ $\sum_g x_g$ $x_g = 1$ $g$ $x_g = 1 - \chi_S(g)$ $\chi_S$ $S$ $S$ $S$ $x_g = 0$

gr.group-theory fourier-analysis convex-geometry

— 安德鲁·摩根
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真有趣的问题！在的情况下，您可以通过指出自同构组对非同一性元素进行传递性作用（实际上，在某种意义上是“ n-传递性” ”，因为它会将线性独立组元素的任何n元组发送到任何其他此类n元组）。首先，您可以假设WLOG 在非身份元素中是最大的，而是第二大的...

F_{2}^{n}

$\mathbb{F}_2^n$

x_{1000 \dots 0}

$x_{1000\dotsc 0}$

x_{e_{2}}

$x_{e_2}$

— Joshua Grochow

@JoshuaGrochow谢谢！我不确定对坐标进行排序是可行的方法，但是对称几乎总是有用的。另一个使用约束的地方是约束-自同构毕竟将子组发送到子组。对于任何一点，似乎有用的事情是将其固定在将约束集合严格固定在所有自同构上。我不知道如何使数量易于管理。

x

$x$

x

$x$

— 安德鲁·摩根

是的，这是一个非常有趣和好奇的问题。（如果您不介意共享）是否有动力去看这些特定的多态性？还是偶然发现的东西？

— John Machacek

@JohnMachacek我试图描述上的分布，这些分布是从任意分布中选择线性子空间，然后随机地均匀选择子空间的元素而产生的。这可以表示为覆盖物LP，其双重具有上述多表位作为其可行区域。在如此有趣的环境中恰巧它是不可或缺的事实似乎太有趣了，因此无法与tcs.se分享。

F_{2}^{n}

$\mathbb{F}_2^n$

— 安德鲁·摩根

@AndrewMorgan为什么多聚体是天然的或有用？坐标仅捕获大小。

x_{i}

$x_i$

G

$G$

— T ....

我和安德鲁（提问者）通过电子邮件讨论了这一点，我们证明了这种猜想是错误的。对于Abelian基团，多位点不是必不可少的，甚至对于环状基团也不是。

在积极方面。

定理：对于阶为循环群，其中和为素数，，元素和子群的发生矩阵完全是单模的。 $p^kq$ $p$ $q$ $k\in \mathbb{N}$

这是因为子组家庭是两个层状家庭的联合。

因此，这表明循环组的最小反例必须具有至少阶数。这实际上解释了为什么没有发现小的反例。 $2\times 3\times 5 =30$

安德鲁进行了一些计算，发现了阶循环群的反例。 $30$

反例：，，，，和其他地方。检查这一点是否可行并不难。在这里，我改写安德鲁证明这实际上是一个顶点的证明。有严格的约束。整个组约束，分别由和生成的三个子组以及非负约束。因为我们有变量，所以是一个顶点。 $x_0=1/2$ $x_2=\frac{30}{2}-\frac{1}{2}=29/2$ $x_3=\frac{30}{3}-\frac{1}{2}=19/2$ $x_5=\frac{30}{5}-\frac{1}{2}=11/2$ $0$ $30$ $2,3$ $5$ $30$ $x$

可能会怀疑的多面体是否对所有都是。不幸的是，安德鲁还发现的多表位是非整数的。 $\mathbb{F}_2^n$ $n$ $\mathbb{F}_2^4$

— 徐超
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