完整性差距的重要性

我一直很难理解完整性差距（IG）的重要性及其界限。IG是最优整数答案（的质量）与问题缓解的最优实际解（的质量）之比。让我们以顶点覆盖（VC）为例。VC可以说是找到以下线性方程组的最佳整数解：

我们有零点/一个值的变量$x_v$ S表示每一个顶点$v \in V(G)$的曲线图的$G$。该方程为：$0 \leq x_v \leq 1$为$v\in V(G)$，和$1 \leq x_v+x_u$对于每个边缘$uv \in E(G)$。我们正在寻找的值，这将减少$\sum_{v \in V(G)} x_v$。

这个问题的松弛使得实数值在$0$到之间，$1$因此解的空间更大，最优的实解可以小于我们想要找到的最优整数解。因此，我们需要对从线性规划获得的最佳实数答案进行“舍入”处理，以找到整数解。最佳整数解将介于最佳实解和舍入过程的结果之间。IG是最佳整数解决方案与最佳实数解决方案的比率，并且没有说明舍入过程。四舍五入过程可以（理论上）完全忽略实际解并直接计算最佳整数解。

人们为什么对证明IG的界限感兴趣？

$x$$x$

那么，为什么不提出另一个LP放宽方案或转向其他技术并继续呢？线性和凸编程已被证明是逼近算法的核心。对于许多问题，天然LP或SDP配方的积分缺口等于最佳算法的近似比以及近似比的硬度。这只是一个经验性的观察，但这意味着证明完整性差距可能表明改进算法或下限会带来更强的后果。

这种现象可能有更深更严格的原因。例如，假设唯一的游戏猜想，已知约束满足问题的逼近率和不可逼近率等于简单SDP松弛的积分缺口（请参见Prasad Raghavendra的《每个CSP的最优算法和不可逼近结果》）。

$P \neq NP$

$a$$c$$a/c$$a$$1/c$

$I$$I$

完整性差距是IP近似程度的有用指标。以非正式，直观的方式考虑它可能会更好。较高的完整性差距意味着某些方法将不起作用。例如，某些原始/对偶方法依赖于较小的完整性差距。对于标准原始Vertex Cover LP，双LP要求最大匹配。在这种情况下，我们可以执行以下操作：

• 找到对偶LP 的最优分数解（最大分数匹配）$\boldsymbol{y}$
• 将解决方案乘以2（所有边缘权重的两倍）$\boldsymbol{y}$
• 它转换为一个可行的积分的原始LP（每个边缘赋予其重量的一半从矢量到它的每一个在端点矢量，则每个是替换为）。$\boldsymbol{x}$$2\boldsymbol{y}$$\boldsymbol{x}$$x_i$$\min(\lfloor x_i\rfloor, 1)$

在这种情况下，这种简单的策略起作用了，我们最终得到了原始LP的可行的整体解，其权重不超过双LP的可行解的权重的两倍。由于对偶LP的可行解的权重是OPT的下限，因此这是一种2近似算法。

现在，完整性差距从何而来？在这种情况下，IG为2，但这并不意味着该算法可以工作。相反，它表明它可能会起作用。如果IG大于2，它将保证简单的策略不会总是起作用。至少我们必须将IG的对偶解乘以IG。因此，完整性差距有时告诉我们什么也不会工作。完整性差距还可以表明我们可以期望什么样的近似因子。较小的完整性差距表明调查舍入策略等可能是一种值得采用的方法。

对于更有趣的示例，请考虑击中集问题和使用 -nets 逼近问题的强大技术（Brönnimann＆Goodrich，1995）。可以将许多问题表述为“命中集”的实例，并且针对许多问题成功的策略是做到这一点，然后找到一个好的网络查找器，即构造小型 -net 的算法，然后通过B＆G元算法。因此，人们（包括我自己）尝试为Hitting Set的受限实例找到净发现者，对于任何，都可以构建大小为的 -net ，其中函数$\varepsilon$$\varepsilon$$\varepsilon$$\varepsilon$$f(1/\varepsilon)$$f$应该尽可能小。具有是一种典型的目标; 这将得出 -近似值。$f(1/\varepsilon) = \mathcal{O}(1/\varepsilon)$$\mathcal{O}(1)$

事实证明，最佳可行函数取决于某个LP的Hitting Set的完整性缺口（Even，Rawitz，Shahar，2005年）。具体而言，最佳积分和分数解满足。对于击中集的无限制实​​例，完整性差距为，但是当将另一个问题表述为击中集时，IG可能会更低。在此示例中，作者展示了如何找到大小为 -nets$f$$\mathrm{OPT}_I \leq f(\mathrm{OPT}_f)$$\Theta(\log(m))$$\varepsilon$$\mathcal{O}((1/\varepsilon) \log \log (1/\varepsilon))$针对击中集的受限实例，这些实例与击中轴平行框的问题相对应。通过这种方式，他们改进了该问题的最著名的近似因子。是否可以改善这是一个开放的问题。如果对于这些受限制的击球集实例，击球集LP的IG为，那么将无法设计保证 -nets大小为，因为这样做将意味着存在一种算法，该算法可以保证对大小为整数命中集合，但是由于$\Theta(\log \log m)$$\varepsilon$$o((1/\varepsilon) \log \log (1/\varepsilon))$$o(\mathrm{OPT}_f \log\log \mathrm{OPT}_f)$$\mathrm{OPT}_f\leq m$这意味着较小的完整性差距。因此，如果完整性差距很大，证明这一点可以防止人们浪费时间寻找优秀的网络发现者。

当您针对某个NP硬最大化问题提出一种近似算法时，您可能会关心以下几个值：存在OPT，即问题的最优值，与OPT（IP）相同，即最优值您问题的任何正确IP公式的价值。还有OPT（LP），即IP线性松弛的最佳值。

$OPT(LP) \geq OPT(IP)$

最后，有V，这是您通过四舍五入LP解决方案而最终获得的解决方案的价值。您希望能够证明来证明您的算法是近似值，但是由于您没有保持解决方案空间。相反，几乎总是证明。当然，这意味着，但更强大。特别是，如果您的IP公式的完整性差距大于，那么上面的陈述通常是错误的，因为四舍五入的过程最终会得到一个整数解。$V > \frac{OPT(IP)}{c}$$c$$V \geq \frac{OPT(LP)}{c}$$V > \frac{OPT(IP)}{c}$$c$

因此，关键在于：LP为您提供了一个您知道是“好”的解决方案，并且您想将其四舍五入为“几乎一样好”。如果整体性差距很大，这通常是不可能的，因为永远不会有保证获得与LP解决方案“几乎一样好”的整体解决方案的程序-因为有时，这些不存在！

您是对的，因为松弛的完整性缺口与任何舍入算法均无关。这是两个不同的概念。完整性缺口是特定松弛的性质。也就是说，与最佳积分值相比，该松弛值大多少？

为什么我们要关心线性/凸弛豫？有效地近似一个整数值。因此，我们通常仅在难以计算最佳值并且对有效逼近感兴趣的情况下谈论松弛。完整性差距向我们展示了此类技术可以实现的固有局限性。

那么，为什么我们要在松弛之上关注舍入算法呢？我们使用舍入算法来解决找到近似最优解的算法问题，而不是仅仅近似最优解的值。此外，通常首先使用舍入算法来限制松弛的完整性缺口。

从技术上讲，完整性差距是针对特定IP配方的，而不是（如您所制定的）最佳线性弛豫与最佳解决方案（似乎可以对所有IP配方进行量化）之间的比率。

完整性差距非常重要，因为它表明了所用特定LP配方的局限性。如果我知道一个特定的弛豫具有的积分缺口，那么我也知道，如果我曾经希望证明一个优于的界限，那么我将需要使用其他公式。$c$$c$

有一篇非常有趣的论文“关于网络编码在提高网络吞吐量方面的优势”，该论文表明，针对Steiner树问题的“双向剪切松弛”的完整性缺口正好等于网络通信中的一种“编码优势”。我不知道很多其他类似的论文。但是，还应该注意，对于Steiner树问题，LP松弛似乎更好（例如，在STOC 2010中看到Byrka等人基于超图的新的基于LP的近似算法，我也毫不动摇地自愿撰写了一些有关超图的最新论文） LP）。

大多数答案已经解决了关注积分间隙的主要原因，即仅基于使用松弛提供的边界的近似算法不能希望证明比积分间隙更好的比率。让我给出另外两个元原因，为什么完整性差距是一个有用的指导。对于一大类组合优化问题，分离和优化的等效性表明，精确的算法与问题的可行解的凸包密切相关。因此，几何和算法的观点紧密地联系在一起。近似算法的近似形式等价未知，但它是有用的指南-算法与几何松弛并存。当人们有一个具体的目标需要改进时，就会发生算法创新。