是否可以加密CNF？

是否有可能一个CNF转换 $\mathcal C$ 到另一个CNF $\Psi(\mathcal C)$ ，使得

该函数 $\Psi$ 可以在多项式时间从一些秘密随机参数来计算 $r$ 。
$\Psi(\mathcal C)$ 具有当且仅当溶液 $\mathcal C$ 有一个解决方案。
任何溶液 $x$ 的 $\Psi(\mathcal C)$ 可以有效地转换成的溶液 $\mathcal C$ 使用 $r$ 。
没有 $r$ ，解 $x$ （或任何其他性质 $\Psi(\mathcal C)$ ）对求解毫无帮助。 $\mathcal C$

如果存在这样的，那么它可以用来使其他人为我们解决计算难题（可能用其他问题代替解决CNF的方法-我选择CNF是因为我想使问题更具体）即使他们知道我们已经使用他们解决了什么问题，他们也无法从可能的解决方案中获利。例如，我们可以将分解问题嵌入计算机游戏中，从而使玩家仅在他们在后台处理我们的问题时才能玩，并时不时地发回计算证明。甚至可以通过这种方式使软件“免费”，其中“免费”在您父母的电费中隐藏了（可能更高）的成本。 $\Psi$

— 多摩普
source

错字“ ...对解决

没有任何帮助”。顺便说一句，如果你不担心的结构

即“玩家”还没有获得

但仅限于解决

，则变量的符号的简单随机置换（

）和变量的索引的随机排列应使溶液

的

完全不能使用用于解决

。

C

$\mathcal C$

Ψ

$\Psi$

Ψ (C)

$\Psi(\mathcal C)$

x

$x$

π_{ℓ} (ℓ_{i}) = \pm ℓ_{i}

$\pi_{\ell}(\ell_i) = \pm \ell_i$

x

$x$

Ψ (C)

$\Psi(\mathcal C)$

C

$\mathcal C$

— Marzio De Biasi

@Marzio Thx，固定错字。但是我不理解您的评论-您是否假设“玩家”无权访问

而只能访问

？从描述中应该很清楚她有。

Ψ (C)

$\Psi(\mathcal C)$

x

$x$

— domotorp

是的，如果玩家无法访问

的结构，那么简单的“随机文字和变量索引”肯定可以工作（我只是一个快速的评论）。但也许是“洗牌”的想法可能会以这种方式扩展：如果

是3-CNF那么只有

可能不同的条款和知道

（的改组型式

）可能是有帮助的唯一知道寻找

与

之间同构的一种有效方法。

Ψ (C)

$\Psi(\mathcal C)$

C

$\mathcal C$

(2 n)^{3}

$(2n)^3$

Ψ (C)

$\Psi(\mathcal C)$

C

$\mathcal C$

Ψ (C)

$\Psi(\mathcal C)$

C

$\mathcal C$

— Marzio De Biasi

@Marzio随着事情的发展，（超）同构性可能很快就可以解决。

— domotorp

看一下加密的成套猜想。它表明您的建议是合理的。它指出存在一个内射长度增加

单向函数

，使得SAT和

不是p同构的。

2^{n^{ϵ}}

$2^{n^\epsilon}$

f

$f$

f (S A T)

$f(SAT)$

— Mohammad Al-Turkistany

Answers:

Feigenbaum在“ 加密问题实例”一文中提出了满足NP完全问题的加密功能的定义（定义1）。她证明了NP完全问题比较向量不等式具有这种加密功能。她以主要定理得出结论，所有与CNF-SAT同构的NP完全问题都是可加密的。

— 穆罕默德·图尔克斯坦尼
source

并在后续工作中得出结论，NP完全问题不太可能被加密！doi.org/10.1016/0022-0000(89)90018-4这些文件正是我想要的。我不知道为什么我能比密码学的最新结果更好地理解它们-也许从那以后该领域与复杂性理论就

— 相去甚远了

您提到的应用程序在文献中被称为“有用的工作证明”，例如参见本文。

您可以使用完全同态加密方案（其中纯文本为CNF实例）将计算委派给不受信任的一方，而不会泄露输入。

这不能完全回答您的问题，因为这样的方案不会将CNF映射到另一个CNF，但是它确实适用于预期的应用程序。

— 迭戈·德·埃斯特拉达
source

Afaik，同态加密用于对某些数字进行一些计算。您将如何使用它解决我的问题？

— domotorp

FHE是为布尔电路定义的。将CNF实例视为位向量。给定输入大小，您可以构建一个布尔电路，如果有分配，则输出分配（请参阅cs.stackexchange.com/q/72289/627）。

— 迭戈·德埃斯特拉达

我认为区别在于，在您的解决方案中，在保留隐私的同时，与我们要解决的任务相比，编码成本很高。我想在多项式时间中编码大量的工作。

— domotorp

@domotorp我明白。有一种无需电路即可使用FHE的方法，请参见eprint.iacr.org/2013/229.pdf

— Diego de Estrada

随着越来越多的用户支持您的答案，也许它包含了我错过的内容。您现在是否声称它适用于我的问题或仅适用于该应用程序？我也看过这篇论文，但它并不那么容易掌握。您能告诉我哪种具体结果/定理适用于我的情况吗？

— domotorp '18 -2-9