随机布尔函数具有琐碎的自同构群的概率是多少？

给定布尔函数 $f$，我们有自同构组 $Aut(f) = \{\sigma \in S_n\ \mid \forall x, f(\sigma(x)) = f(x) \}$。

是否有任何已知界限 $Pr_f(Aut(f) \neq 1)$？有什么已知的形式的数量$Pr_f(G \leq Aut(f))$ 对于某些团体 $G$？

是。对于您的第一个问题，概率双指数快速变为零。可以如下计算。对于每个排列$\pi$，我们可以限制 $\pi \in Aut(f)$，即 $f(\pi(x)) = f(x)$ 对所有人 $x \in \{0,1\}^n$。考虑一下$\pi$ 作用于 $\{0,1\}^n$。我们有$\pi$ 是...的同构 $f$ iff $f$ 在 $\pi$-轨道。如果$\pi$ 是不平凡的，它至少有一个轨道 $[n]$ 那不是单身，因此至少在轨道上 $\{0,1\}^n$那不是单身。假设轨道有$k$元素。的概率$f$ 因此在那个轨道上是恒定的 $2^{-(k-1)}$。假设$\pi$ 作用于 $[n]$ 已 $c_1$ 定点 $c_2$ 长度为2等的循环（尤其是 $\sum_{i=1}^n i c_i = n$）。然后的点数$\{0,1\}^n$ 固定于 $\pi$ 正是 $2^{\sum_i c_i}$。的所有剩余点$\{0,1\}^n$ 处于非平凡的轨道 $\pi$。上限的可能性$\pi \in Aut(f)$，请注意，最好的可能性是如果的所有非固定元素 $\{0,1\}^n$ 进入大小为2的轨道。 $Pr(\pi \in Aut(f)) \leq (1/2)^{M/2}$ 哪里 $M = 2^n - 2^{\sum_i c_i}$。现在，我们希望在$M$，这意味着我们想要一个上限 $\sum_i c_i$。以来$\pi \neq 1$， 最大的 $\sum c_i$ 可以是什么时候 $c_1 = n-2$ 和 $c_2 = 1$，即 $\sum c_i = n-1$ 和 $M = 2^n - 2^{n-1} = 2^{n-1}$，所以 $M \geq 2^{n-1}$ 和 $Pr(\pi \in Aut(f)) \leq (1/2)^{2^{n-2}}$。现在应用联合约束：$|S_n| = n!$，所以 $Pr((\exists \pi \in S_n)[\pi \neq 1 \text{ and } \pi \in Aut(f)]) \leq n! 2^{-2^{n-2}}$，基本上 $2^{n \lg n - 2^{n-2}} \to 0$ 如 $n \to \infty$，很快。

对于任何给定 $G \leq S_n$ 您可以使用类似的推理，但概率也将很快变为零。