看似正确但不正确的算法和证明示例

在我的编程入门课程中，我们正在学习初始化-维护-终止方法，该方法证明算法可以达到预期的效果。但是我们只需要证明已知正确的算法是正确的即可。我们从未被要求证明算法不正确。

有没有看起来正确的经典算法示例，但不是吗？我正在寻找“初始化-维护-终止”方法捕获了第一眼直觉无法理解的情况的情况。

ds.algorithms proofs

— 马林
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可能感兴趣：cs.stackexchange.com/q/29475/755

— DW

赞成，因为我认为这是一个非常重要的教学问题。它稍微超出了cstheory的范围，但是我不知道它有一个更好的平台，并且cstheory社区中有很多算法讲师。大多数算法设计课程仅向学生介绍正确的现有算法以及使用已知技术可以轻松解决的问题。这增强了对学生的吸引力，使人们可以放心地相信一个看似合理的算法是正确的直观感觉。好的算法设计课程应该相反！

— Neal Young

我希望有这样的收藏。

— Chandra Chekuri

二维局部最大值

输入：二维数组 $n \times n$ $A$

输出：局部最大值-一对，使得在数组中没有包含严格更大值的相邻像元。 $(i,j)$ $A[i,j]$

（相邻的单元格是数组中存在的中的单元格。）因此，例如，如果为 $A[i, j+1], A[i, j-1], A[i-1, j], A[i+1, j]$ $A$

\begin{array}{cccc} 0 & 1个 & 3 & 4 \\ 3 & 2 & 3 & 1个 \\ 2 & 5 & 0 & 1个 \\ 4 & 0 & 1个 & 3 \end{array}

$\begin{array}{cccc} 0&1&3&\mathbf{4}\\ \mathbf{3}&2&\mathbf{3}&1\\ 2&\mathbf{5}&0&1\\ \mathbf{4}&0&1&\mathbf{3}\end{array}$

那么每个加粗的单元格都是局部最大值。每个非空数组都有至少一个局部最大值。

算法。有一个时间算法：只需检查每个单元格即可。这是一个更快，递归算法的想法。 $O(n^2)$

给定，将十字定义为由中间列中的单元格和中间行中的单元格组成。首先检查每个单元，以查看该单元是否为的局部最大值。如果是这样，则返回这样的单元格。否则，令为具有最大值的像元。由于不是局部最大值，因此它必须具有较大值的相邻像元。 $A$ $X$ $X$ $A$ $(i, j)$ $X$ $(i, j)$ $(i', j')$

分区（数组，减去在细胞中）成四个象限-左上，右上，左下和右下象限-在自然的方式。值较大的相邻像元必须在这些象限之一中。拨打该象限。 $A \setminus X$ $A$ $X$ $(i', j')$ $A'$

引理。 象限包含的本地最大的。 $A'$ $A$

证明。 考虑从单元格。如果不是局部最大值，请移至值较大的邻居。可以重复此过程，直到到达一个局部最大值的像元为止。最后一个单元格必须位于，因为所有侧面都由其值小于单元格值的单元格限制。这证明了引理。 $(i', j')$ $A'$ $A'$ $(i', j')$ $\diamond$

该算法在递归调用自身个子数组在此处找到局部最大值，然后返回该像元。 $\frac{n}{2}\times\frac{n}{2}$ $A'$ $(i, j)$

一个矩阵的运行时间满足，因此。 $T(n)$ $n\times n$ $T(n) = T(n/2) + O(n)$ $T(n) = O(n)$

因此，我们证明了以下定理：

定理。 有一种时间算法可以在数组中找到局部最大值。 $O(n)$ $n\times n$

还是我们？

— 尼尔·杨（Neal Young）
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初读时，我发现的唯一错误是重复解决方案。那是唯一的错误吗？

— Radu GRIGore

复发是正确的。该算法不是！

— Neal Young，

啊，是的，我的重复犯了一个愚蠢的错误。我看到了问题：您证明存在的最大值不是（有必要）找到的最大值。而且你发现了什么忽略X.

— 拉杜格里戈里

（ \begin{matrix} 2 & 1个 & 4 & 3 & 3 & 0 & 0 \\ 1个 & 0 & 1个 & 2 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 1个 & 0 & 2 & 3 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 2 & 2 & 2 & 2 & 2 \\ 3 & 3 & 3 & 2 & 3 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & 2 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 2 & 3 & 0 & 0 \end{matrix} ）

$\begin{pmatrix}2&1&4&3&3&0&0\\1&0&1&2&3&0&0\\0&{\color{red}1}&0&2&3&0&0\\2&2&2&2&2&2&2\\3&3&3&2&3&3&3\\0&0&3&2&3&0&0\\0&0&3&2&3&0&0\end{pmatrix}$

A^{'}

$A'$

A

$A$