平方根之和很难解决？

的平方根的总和问题询问，给定两个序列和正整数，是否总和小于，等于，或大于比总和。这个问题的复杂性状态是公开的。有关更多详细信息，请参见这篇文章。这个问题自然出现在计算几何中，尤其是在涉及欧几里德最短路径的问题中，并且是将这些问题的算法从实际RAM转移到标准整数RAM的重要绊脚石。$a_1, a_2, \dots, a_n$$b_1, b_2, \dots, b_n$$\sum_i \sqrt{a_i}$$\sum_i \sqrt{b_i}$

如果从平方根总和到π的多项式时间减少了，则称问题Π 平方根和为硬（缩写为√√-hard？）。不难证明以下问题是平方根求和：

4d欧几里得几何图中的最短路径

实例：图其顶点为，其边由欧几里得distane加权；两个顶点和$G=(V,E)$$\mathbb{Z}^4$$s$$t$

输出：从最短路径到在。$s$$t$$G$

当然，可以使用Dijkstra算法在实数RAM上的多项式时间内解决此问题，但是该算法中的每个比较都需要解决平方根和问题。归约使用以下事实：任何整数都可以写成四个完美平方的和。减少量的输出实际上是个顶点上的一个周期。$2n+2$

平方根和的总和还有哪些其他问题？ 我对真正的RAM上有多项式时间解的问题特别感兴趣。见 我之前的问题的一种可能性。

如罗宾所言，无聊的答案无聊。对于任何包含平方根和的复杂度类X（例如PSPACE或EXPTIME），每个X难题都无聊的平方根难题。

在以下调查（开始于幻灯片21）中对此进行了一些讨论：http : //homepages.inf.ed.ac.uk/kousha/games08_tutorial.pdf

其中提到了欧几里得的TSP，实际纳什均衡的近似值，并讨论了PosSLP和FIXP类。

这应该是一条评论，因为它几乎是无聊的答案，但是我没有足够的声誉。

平方根问题的总和是在从[ABKM98] ，因此对于这个类的任何问题硬具有所需的性质。这是通过将平方根和问题为来完成的，该问题定义为确定直线问题是否代表正整数，因此该问题很难求平方根。$P^{PP^{PP^{PP}}}$$PosSLP$

[ABKM98]：关于数值分析的复杂性，作者：Allender，Burgisser，Kjeldgaard-Pedersen和Miltersen。