将扩展到

奥马尔莱因戈尔德的证明，给出USTCON的算法（在ü ndirected特殊顶点图形和，他们是精读只使用LOGSPACE nected？）。基本思想是从原始图构建扩展图，然后在扩展图中遍历。扩展图是通过对数平方对数原始图来制成的。在展开图中，直径仅是对数的，因此对数深度的DFS搜索就足够了。 $L=SL$ $s$ $t$

将结果扩展到意味着存在DSTCON的对数空间算法-相同，但对于D方向图。（有时只是STCON。）我的问题，也许稍微有些柔和，是将Reingold的证明扩展到这一点的主要障碍是什么？ $L=NL$

感觉有点像应该有一种“定向扩展器”图。类似的构造，在其中添加对应于中等长度定向路径的边，然后添加对应于长路径的边；然后您可以通过沿短路径移动到长路径来遍历具有对数深度的图形；然后返回到短路径。

这个概念是否存在重大缺陷？还是这样的扩展器没有好的构造？还是以某种方式比无向版本需要更多的内存？

不幸的是，我在定向扩展器图上根本找不到很多东西。实际上，基本上我所能找到的只是/math/2628930/how-can-one-construct-a-directed-expander-graph-with-varying-degree-distribution（此问题尚未得到解答）和https://repository.upenn.edu/cgi/viewcontent.cgi?article=1202&context=cis_papers。我应该搜索另一个术语吗？

— 亚历克斯·梅伯格
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本文给出了关于延伸的一些见解到：people.seas.harvard.edu/~salil/research/regular-abs.html

L = S L

$L=SL$

L = R L

$L=RL$

— sdcvvc

请参阅此处的第3点。您可能会反对，这是完全推测，但请注意，Scott的答案基本上与有向图的随机探索有关。

— Thomas Klimpel '18

中心问题是，在有向图上，即使是真正的随机游动也不会在预期的多项式时间内触及所有顶点，更不用说伪随机游动了。这里的标准反例是一个有向图，其中个顶点从左到右排列，其中每个顶点都有一个边沿指向右边的顶点（最右边的顶点除外），每个顶点也有一个边沿指向所有顶点。返回最左边的顶点。要通过随机游走从到，大约需要时间。那么，我们希望去随机化的用于定向连接的小空间随机算法是什么，类似于Reingold所做的 $n$ $t$ $s$ $s$ $t$ $2^n$ $USTCON$ ？（换句话说，我们如何显示，更不用说？）对于定向连通性，当然有Savitch算法，但是它占用空间，而对于普通图则没有一个半世纪以来，无论是否使用随机性，它都已经将其改进了。 $RL=NL$ $L=NL$ $O(\log^2 n)$

— 斯科特·亚伦森
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我将要描述的算法大致是-好吧，您需要运行Reingold的“平方和之字形”操作数次才能开始。我想修改后的结果是，它不包含原始图中仅包含长度2的路径的正方形，而是包含长度1和2的路径。尝试所有对数深的序列，如他的。如果我们将图的顶点编号为1、2，.. n，则第一个“平方”图将1，2和3连接起来，下一个“平方”图将其连接到2345，等等。之字形步骤保持度低。显然很粗糙，但我不明白为什么它会失败。

— 亚历克斯·梅堡

对于定向连接，有一个多项式时间算法，使用Barnes，Buss，Ruzzo和Schieber的“ only”空间：亚线性空间有向st连通性的多项式时间算法。它是广度优先搜索和递归式类似Savitch的算法的巧妙组合，用于查找BFS后续级别之间的路径。现在所需要做的就是从到。所以它没有改善，不是在半个世纪之内，而是在最近的20年中：)

\frac{n}{2^{Θ (\sqrt{\log n})}}

$\frac{n}{2^{\Theta(\sqrt{\log n})}}$

\frac{n}{2^{Θ (\sqrt{\log n})}}

$\frac{n}{2^{\Theta(\sqrt{\log n})}}$

\log n

$\log n$

— Lieuwe Vinkhuijzen