不均匀性如何有用的例子有哪些？

我对您看到不均匀性在计算中有用的方式感到好奇。一种方法是随机性，例如$BPP \subseteq P/poly$，另一个是查询表，用于显示所有语言的电路都不统一。

特别是，我对通过概率方法和其他非构造性（或非构造性足够）证明方法存在的已知对象可以利用非均匀性加以利用的方式感兴趣。我希望示例是自然的，而不是人为的。明确地说，人为问题的回路可能类似于：给定某种语言$L \in P$，我通过计算一些非常困难的函数来创建多项式大小的电路 $f(|x|)$ 用我的建议问 $f(|x|)^{n/|f(|x|)|} \oplus x \in L$。

我喜欢的一个例子是 $\mathrm{NE\subseteq coNE}/(n+1)$通过计算语言中的字符串（例如，请参见https://blog.computationalcomplexity.org/2004/01/little-theorem.html）。

一个例子是 $\mathbf{NL} \subseteq \mathbf{UL}/\text{poly}$。这个定理由Reinhardt和Allender在他们的论文《使不确定性明确》中得到了证明。无需赘述，其算法中的建议由一系列边权重分配组成，因此对于任何有向图$G$ 由一个 $n$位字符串，序列中的某些赋值使 $G$“最小独特”。这样的序列可以通过概率方法证明存在。Reinhardt和Allender的主要贡献是给出了明确的对数空间算法，以找出序列中的哪个赋值对特定给定的有向图有效$G$ 并决定 $s$--$t$ 最小唯一图上的连通性。

与 $\mathbf{BPP} \subseteq \mathbf{P}/\text{poly}$，可以推测这里实际上并不需要非均匀性，即可以推测为 $\mathbf{NL} = \mathbf{UL}$。

我不确定它是否适合您的需求，但是有一些结果证明了语义复杂度类的层次定理，但有一点建议，没有建议就无法知道层次定理。最著名的例子是BPP，我们不知道它的层次定理，但是Fortnow和Santhanam表明存在一个建议（基于Barak使用了更多建议的结果）。Melkebeek和Pervyshev撰写的这篇文章提供了参考资料和历史，以及一个似乎包含先前定理的定理。