确定间隔是否包含质数

确定自然数的间隔是否包含质数的复杂性是什么？Eratosthenes筛子的一个变体给出了算法，其中是区间的长度，在区间的起点隐藏了多对数因子；我们可以做得更好（单就而言）？ $\tilde O(L)$ $L$ $\sim$ $L$

Nitpick：Eratosthenes筛在开始时甚至不会为您提供一个多对数因子，即使是长度为1的间隔也是如此。确实有可能检查数字是否为质数，即时间是否为对数。表示形式的多项式），但这需要一种比Eratosthenes筛子复杂得多的算法。

— Vanessa

@Squark是，应该指定“相对于给定因子库的伪素数”。尽管随着时间间隔的起点变大，但素数测试的预期成本却降为零...

— Elliot Gorokhovsky '18

免责声明：我不是数论专家。

简短的答案：如果您愿意假设“合理的数论猜想”，那么我们可以确定在时间的时间间隔中是否存在素数。如果你不愿意做这样的假设，然后有一个美丽的算法，由于该奥德里兹科达到，我认为这是已知的最好的。 $[n, n+\Delta]$ $\mathrm{polylog}(n)$ $n^{1/2 + o(1)}$

非常有用的链接，其中包含有关一个紧密相关的问题的大量有用信息：PolyMath项目有关确定素数的确定性算法。

长答案：

这是一个棘手的问题，是一个活跃的研究领域，并且似乎与质数之间的有限缺口这一棘手的问题密切相关。您的问题在道德上与确定性地找到与之间的质数的问题非常相似，最近它是PolyMath项目的主题。（如果您真的想深入研究这些问题，那么可以从该链接开始。）尤其是，我们针对这两个问题的最佳算法基本上是相同的。 $n$ $2n$

在这两种情况下，最佳算法在很大程度上取决于素数之间的间隙大小。特别是，如果使得和之间始终存在素数（并且可以有效地计算），那么我们总是可以找到时间的素数如下。确定和之间是否有质数 $f(n)$ $n$ $n + f(n)$ $f(n)$ $\mathrm{polylog}(n) \cdot f(n)$ $n$ ，首先检查如果。如果是，则输出是。否则，仅遍历和之间的整数并测试每个素数，如果找到素数则回答是，否则返回否。（这可以确定性地完成，这就是为什么确定性地找到和之间的质数与确定在一定间隔内是否存在质数如此紧密相关的原因。） $n + \Delta$ $\Delta \geq f(n)$ $n$ $n + \Delta$ $n$ $2n$

如果素数的行为像我们认为的那样，那么这就是故事的结局（最多为因素）。特别地，我们期望能够取。这在HaraldCramér之后被称为Cramér的猜想，并且证明目前似乎遥不可及。但是，据我所知，它被广泛相信。（一个到达这个猜想，例如，从启发式，所述素数行为像通过包括每个整数获得的随机整数集 $\mathrm{polylog}(n)$ $f(n) = O(\log^2 n)$ $n \geq 3$ 随机独立地以概率）。 $1/\log n$

有迹象表明，暗示多弱得多的结合许多猜测，例如勒让德的猜想。（我不知道这是众所周知的暗示中间绑定任何的猜测，虽然我想象它们的存在。）而且，黎曼假设是已知的暗示类似的绑定 $f(n) \leq O(\sqrt{n})$ 。因此，如果您假设这些猜想，则实际上是将Odlyzko的算法（系数为）与更为简单的算法相匹配。 $f(n) \leq O(\sqrt{n} \log n)$ $n^{o(1)}$

我认为，最好的无条件界现在的问题是由于贝克，哈曼和Pintz。因此，如果您不做任何假设，那么Odlyzko的算法将明显的算法击败约为。 $\widetilde{O}(n^{0.525})$ $n^{0.025}$

— 诺亚·斯蒂芬斯·戴维多维兹
source

这个答案真棒！是否可以采用这些方法来确定在

是给定数的区间中是否存在

素数？而且，这种情况下的复杂性是什么？

k

$k$

k

$k$

— Michael Wehar '18

π (x) := \# primes below \leq x

$\pi(x) := \text{\# primes below $\leq x$}$

p_{n + k} - p_{n}

$p_{n+k}-p_n$

p_{n + 1} - p_{n}

$p_{n+1}-p_n$