不可比自然数

“命名最大数字游戏”要求两名玩家秘密写下数字，而获胜者是写下较大数字的人。游戏通常允许玩家写下某个点评估的函数，因此也是可以接受的。 $2^{2^{2^{2}}}$

对于较大的值，无法确定（在ZFC或任何合理的一致公理系统中）Busy Beaver函数的值。特别是，无法根据本文确定。但是，这并不意味着我们无法比较Busy Beaver函数的值。例如，我们可以证明是严格单调的。 $BB(x)$ $x$ $BB(10^4)$ $BB(x)$

假设我们允许玩家写下涉及基本函数，自然数和Busy Beaver函数组成的表达式。这两个参与者是否可以写下两个表达式，以便我们可以在ZFC中证明确定ZFC的赢家是不可能的（假设ZFC是一致的）？

编辑：最初，这个问题说：“ ...可计算函数，自然数和Busy Beaver函数的任意组合。”

如果我们让的值 [在这个网站上不可思议的大小并且无法表达] 的值为否则为，则和是不可比的。 $f(x)$ $3$ $BB(x) >$ $7$ $f(10^4)$ $6$

这让我不满意，主要是因为 $f$ 对于某人在该游戏中使用不是一个合理的函数。不过，我没有看到如何表达我的直觉，因此我限制了该问题以避免分段函数。

computability undecidability

— 斯特拉·比德曼（Stella Biderman）
source

可以将

不确定性扩展到单个位吗？如果是这样，那么您只需要执行类似

的第3个最低有效位与第8个最低有效位的比较。

B B (10^{4})

$BB(10^4)$

B B (10^{4})

$BB(10^4)$

— mhum

诸如此类的@mhum问题非常棘手，因为

值实际上取决于编码。例如，有些编码的

总是偶数。我的理解是，取决于编码，沿着这些思路的所有问题都是微不足道的，也可以是开放的。

B B (x)

$BB(x)$

B B (x)

$BB(x)$

— 斯特拉·比德曼

根据这篇文章的答案：cstheory.stackexchange.com/questions/9652/…，看来BB确实确实是单调的

— Avi Tal

玩此类游戏的技巧是打破规则，所以我认为没有必要说某些功能是不合理的。如果我们要玩游戏，那么我绝对会以我能想到的最恶心的功能打你（而且我是逻辑学家）。

— 安德烈·鲍尔

当您说“不确定”时，我想您是说它独立于ZFC之类的理论。假设ZFC是一致的，将会存在ZFC不会决定的（对于自然数，）这样的语句。因为否则我们可以仅通过在ZFC中搜索此类语句的证明来计算函数

乙 （ 米 ） > ñ

$B(m)>n$

m

$m$

n

$n$

B

$B$

由于是图灵完整的，所以有一些带有Con（ZFC）的图灵机 $B$ $\Phi$ $\iff$ 用oracle（在输入0上说）和（ZFC）接受 $\Phi$ $B$ $\neg$ $\iff$ 废品。 $\Phi$

现在假定实际上CON（ZFC）为真，我们知道接受并有事实的一些集合，这是在计算中使用（我们可以将其设置使得oracle访问以这种方式工作）。然后是假的，但这一事实不ZFC可证，否则ZFC将证明其自身的一致性。当然这可以改写成 $\Phi$ $B(m_i)=n_i$ $1\le i\le k$

\sum_{一世 = 1个}^{ķ} （ 乙 （ 米_{一世} ） - ñ_{一世} ）^{2} > 0

$\sum_{i=1}^k (B(m_i)-n_i)^2>0$

，因此（*）可以为您的问题提供“是”的答案。

\begin{matrix} （*） & \sum_{一世 = 1个}^{ķ} 乙 （ 米_{一世} ）^{2} + ñ_{一世}^{2} > \sum_{一世 = 1个}^{ķ} 2 乙 （ 米_{一世} ） ñ_{一世} \end{matrix}

$\sum_{i=1}^k B(m_i)^2+n_i^2>\sum_{i=1}^k 2B(m_i)n_i\tag{*}$

但是，我认为我们无法弄清楚这些数字，是什么，因为查询是自适应的（询问的内容取决于先前问题的答案，而我们不知道这些答案）。 $m_i$ $n_i$

— 比约恩·乔斯·汉森
source

这是我正在寻找的绝佳存在证明。但是，我特别关注这样一个方程式的实际示例，使用某种表达式，我们可以写下

。您也对我对“不确定”的使用不正确表示对，我已经修正了我的问题。

n, m

$n,m$

— 斯特拉·彼德曼

n_{0} = B (7910)

$n_0=B(7910)$

B (7910) \leq n_{0}

$B(7910)\le n_0$