DSPACE（n）= DSPACE（1.5n）吗？

从空间层次定理可以知道，如果 $f$ 是可空间构造的，则 DSPACE（ $2f(n)$ ）不等于DSPACE（ $f(n))$ 。

在这里，所谓DSPACE（ $f(n))$ ，是指具有一定固定字母的图灵机可以在空间 $f(n)$ 解决的所有问题的类别。这允许以这样的精度考虑空间层次定理。

标准自变量给出乘法常数 $2$ ：我们需要空间 $f(n)$ 来构造一个通用图灵机的计算。我们还需要 $f(n)$ 来解决暂停问题。

问：是DSPACE（ $f(n)$ ）等于DSPACE（ $\frac{3}{2}f(n)$ ）？

cc.complexity-theory complexity-classes

— 阿列克谢·米洛娃诺夫（Alexey Milovanov）
source

您感兴趣的任何理由

？将

同样有趣吗？

\frac{3}{2}

$\frac32$

1 + Ω (1)

$1+\Omega(1)$

— 托马斯（Thomas）

您为什么认为空间层次定理给出

？我想您认为我们需要

空间用于模拟和

空间用于计算步数，从而避免无限循环。但是在这两种情况下，我们都需要先在磁带上标记第

个位置（可以从

2 f (n)

$2f(n)$

f (n)

$f(n)$

\log_{| Σ |} | Σ |^{f (n)}

$\log_{|\Sigma|} |\Sigma|^{f(n)}$

f (n)

$f(n)$

f

$f$ 是空间可构造的），您将如何做标记？如果您假设不允许机器写入*，则您的论据是可以的，但否则需要进一步复杂化。

— domotorp

@Thomas实际上我想要

1 + o (1)

$1 + o(1)$

— Alexey Milovanov

可以证明DSPACE $(f(\frac 32 n))\ne$ DSPACE $(f(n))$ 如果 $f$ 通过使用标准padding参数的简单变体至少线性增长。对于语言 $L$ ，令 $L'=\{x0^{|x|/2}\mid x\in L\}$ 。

要求。 $L\in$ DSPACE $(f(n))$ 当且仅当 $L'\in$ DSPACE $(f(\frac 23n))$ 如果 $f(n)\ge \frac 32n$ 。

（我的第一个答案有几个错误的陈述，这要感谢Emil的发现。）

我将首先展示如何使用声明来证明层次结构。由于 $f$ 至少线性增长，我们有DSPACE $(2f(n))\subset$ DSPACE $(f(2n))$ 。取语言 $L\in$ DSPACE $(f(2n))\setminus$ DSPACE $(f(n))$ 。使用如权利要求， $L'\in$ DSPACE $(f(\frac 43 n))=$ DSPACE $(f(n))$ ，其中最后一个等式是通过间接假设得出的。但随后 $L\in$ DSPACE $(f(\frac 32 n))=$ DSPACE $(f(n))$ ，其中最后一个等式再次由间接假设得出，从而产生矛盾。

索赔证明。 如果 $L'\in$ DSPACE $(f(\frac 23 n))$ ，然后证明 $L\in$ DSPACE $(f(n))$ ，我们只需要编写 $|x|/2$ 0以输入的端 $x$ 和模拟机接受了 $L'$ 。由于 $f(n)\ge \frac 32 n$ ，这不会增加我们使用的空间。（实际上，如果 $f$ 很小，就不知道要写多少个0，并且我们不能增加字母的大小-相反，我们可以使用另一种磁带并写上 $x$ 结束后的所有内容。）

$L'$ $L'=\{x10^{|x|/2}\mid x\in L\}$ $x10^{|x|/2}$ $f$ $x10^{|x|/2}$ $f$

— 多摩普
source

L \in D S P A C E (f (n))

$L\in\mathrm{DSPACE}(f(n))$

L^{'} \in D S P A C E (f (\frac{2}{3} n))

$L'\in\mathrm{DSPACE}(f(\frac23n))$

\frac{2}{3}

$\frac23$

L^{'} \in D S P A C E (f (\frac{2}{3} n))

$L'\in\mathrm{DSPACE}(f(\frac23n))$

L \in D S P A C E (f (n) + \frac{n}{2})

$L\in\mathrm{DSPACE}(f(n)+\frac n2)$

L \in D S P A C E (2 f (n))

$L\in\mathrm{DSPACE}(2f(n))$

L^{'} \in D S P A C E (\frac{4}{3} f (n) + \frac{n}{3}))

$L'\in\mathrm{DSPACE}(\frac43f(n)+\frac n3))$

@Emil你是对的。我试图修复它，看起来更好吗？

— domotorp

L^{'} \in D S P A C E (f (\frac{2}{3} n)) ⟹ L \in D S P A C E (f (n))

$L'\in\mathrm{DSPACE}(f(\frac23n))\implies L\in\mathrm{DSPACE}(f(n))$

O (\log n)

$O(\log n)$

f

$f$

D S P A C E (f (n)) ⊊ D S P A C E ((1 + ϵ) f (n))

$\mathrm{DSPACE}(f(n))\subsetneq\mathrm{DSPACE}((1+\epsilon)f(n))$

ϵ > 0

$\epsilon>0$

@Emil我不认为输入磁带是只读的-仅当时才假定使用AFAIK 。

f (n) < n

$f(n)<n$

— domotorp