P和描述复杂性

在复杂度动物园中，它说[ 1 ]，在描述性复杂度中，可以通过三种不同的公式定义，也是，也可以定义为。$P$$FO(LFP)$$FO(n^{O(1)})$$SO(HORN)$

但是，也有一些例外，例如，FP无法表达（FP具有与LFP相同的表达能力）。一阶逻辑无法定义和 。有些问题甚至不能用有限数量的变量来公理化，例如，，。$Evenness$$Connectivity$$2-colourability$$Evenness$$Perfect~Matching$$Hamiltonicity$

Immerman提出定点逻辑+计数（FPC）可能是捕获P的可能逻辑。

但是，Immerman的Cai Furer指出，有些多项式时间图的特性无法在FPC中表达[ 2 ]。在带有计数的无限逻辑中，无法解决在两个元素场上求解线性方程的问题[ 3 ]。有关更多详细信息，请参阅[ 4 ]。

那么，一般来说，什么逻辑结构可以捕获P？肯定的答案是，一类有序有限结构只有在Immerman [ 5 ]和Vardi [ 6 ] 可以在P中确定的情况下，才能在至少定点逻辑中定义。在无序情况下怎么样？您可以在复杂性动物园中显示该语句的更多反例吗？

马丁·格罗（Martin Grohe）最近在这个问题上取得了重大进展。他给出了捕获可嵌入固定表面的图类上的多项式时间的逻辑：https : //dl.acm.org/citation.cfm?doid =2371656.2371662 编辑：一般情况似乎无法解决（但我决不是专家）。