严格积极性背后的直觉？

我想知道是否有人可以给我直觉，为什么归纳数据类型严格的正定性可以保证强大的规范化。

明确地说，我看到负出现是如何导致分歧的，即通过定义：

data X where Intro : (X->X) -> X

我们可以编写一个发散函数。

但我想知道，怎样才能证明严格正归纳类型不容许分歧？也就是说，是否有某种归纳措施可以让我们构造强规范化的证明（使用逻辑关系或类似关系）？此类证据在哪里会针对负面事件进行分解？有没有很好的参考文献显示出归纳类型语言的强大归一化？

— m
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我认为，从概念上讲，严格来说，正类型可以转换为W类型。同样，非严格正类型与Coqvilhelms.github.io/posts/…不一致。有人评论说，积极的类型与阿格达是一致的，但我也想看到一个概念上的解释……

— molikto

@molikto谢谢，这很有帮助。但是我认为W型在内涵理论中没有给出理想的归纳原理吗？在内涵理论中，我们如何证明严格正定归纳的强归一化？

— jmite '19

Answers:

听起来您想要具有正数据类型的类型系统的规范化参数概述。我建议纳克斯·门德勒（Nax Mendler）的博士学位论文：http : //www.nuprl.org/documents/Mendler/InductiveDefinition.html。

如日期所示，这是非常经典的作品。基本的直觉是，序数 $\lambda$ 可以与任何正归纳类型的元素相关联，例如对于数据类型

Inductive Ord = Zero : Ord | Suc : Ord -> Ord | Lim : (Nat -> Ord) -> Ord

我们会得到：

λ (t) = 0

$\lambda(t) = 0$

t

$t$

λ (Z e r o) = 0

$\lambda(\mathrm{Zero}) = 0$

λ (S u c (o)) = λ (o) + 1

$\lambda(\mathrm{Suc}(o)) = \lambda(o)+1$

λ (L i m (f)) = sup_{n} λ (f n)

$\lambda(\mathrm{Lim}(f)) = \sup_n \lambda(f\ n)$

其中覆盖正规形式的项。需要说明的是，仅当也具有范式时，才在第三种情况下定义此解释，这需要在定义时加倍小心。 $n$ $f\ n$

然后可以通过对该序数进行归纳来定义递归函数。

请注意，正如Dybjer 在出色的归纳家庭论文（http://www.cse.chalmers.se/~peterd/papers/Inductive_Families.pdf）中指出的那样，这些数据类型可以在经典集合论中已经定义。但是，由于函数空间很大，所以像这样的类型Ord需要非常大的序数来解释。

— 科迪
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谢谢，这非常有帮助！您知道这样的序数是否可以在类型理论本身中定义？即，如果我尝试使用Agda进行归纳递归，以归纳模型化类型理论（但没有归纳递归），我是否可以使用类似的东西Ord来建模展现良好基础所需的序数？

— jmite

@jmite，可以，但是建设性理论中的普通用法有点奇怪，您也可以使用有充分根据的命令或树（如molikto所建议的la W型）。但是，可能很难有一个统一的类型来捕获对象语言中每个归纳的充分依据……

— cody

@cody难道不是您提供严格正类型的示例Ord吗？

— Henning Basold

@HenningBasold是的（这就是为什么我将其用作示例！）。不过，这并不完全一样的（古典）集合论序，肯定不会像集的所有序。特别是，在这些命令上定义一个顺序有点困难。

— Cody

@HenningBasold我还应该注意，jmite的问题专门针对严格的正类型，尽管有关更一般设置的信息也很有趣！

— Cody

超越严格肯定类型的另一个很好的来源是Ralph Matthes的博士学位论文：http : //d-nb.info/956895891

他在第3章中讨论了系统F（具有正类型）的扩展，并在第9章中证明了许多强大的归一化结果。第3章讨论了一些有趣的想法。

只要我们可以提供单调见证人，我们就可以为带有自由变量任何类型添加最小不动点。这个想法已经出现在科迪提到的Mendler的作品中。这样的证人对于任何肯定类型都规范存在，因为它们在语法上是单调的。 $\rho$ $\alpha$ $\forall \alpha \forall \beta.\, (\alpha \to \beta) \to \rho \to \rho[\beta/\alpha]$
当我们从严格的正数类型变为正数类型时，归纳类型不再可以视为树（W型编码）。取而代之的是，它们引入了某种形式的阻抗性，因为正归纳类型的构造已经在类型本身上进行了量化。请注意，这是一种不易混淆的暗示性形式，因为此类类型的语义仍可以根据单调函数的有序迭代来解释。
问题还提供了正感应类型的一些示例。特别有趣的是
- 延续的类型，其中在中不出现。 $\mu.\, 1 + ((\alpha \to \rho) \to \rho)$ $\alpha$ $\rho$
- 类型，对于工作的任何类型将其变成正型。请注意，这非常严重地使用了System F的不可预测性。 $\mu \alpha \forall \beta.\, (\alpha \to \beta) \to \rho[\beta/\alpha]$ $\rho$

Matthes还使用正归纳类型来分析双重否定，例如，在本文中：https : //www.irit.fr/~Ralph.Matthes/papers/MatthesStabilization.pdf。他介绍了Parigot的的扩展，并证明了强归一化。 $\lambda\mu$

希望这对您的问题有所帮助。

— 亨宁·巴索德（Henning Basold）
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