代数几何在类型论/程序语言理论中的应用

最近，我对代数几何感兴趣，并开始阅读它。我对该领域知之甚少，但我想知道它是否与我的主要领域，类型理论和编程语言有关。

我知道代数拓扑在类型理论（同伦类型理论等）中有很多应用，但是除了类型理论/ PL理论和AG都是类别理论的良好推动力之外，代数几何又如何呢？

据我所知（这绝对是不完整的），对此的工作很少，大概是因为它需要吸收两个相对复杂的知识体系。但是，很少并不意味着不存在。蒂埃里·科昆德（Thierry Coquand）和他的合作者就可交换代数与构造逻辑之间的联系写了很多论文。

• 蒂埃里·科昆德（Thierry Coquand），亨利·伦巴第（Henri Lombardi）。一种抽象代数的逻辑方法。

  本文提出了巨大的对我的印象是一个毕业的学生-的自信和自由的方式，它使用从证据理论和模型理论的想法做平凡的，适当的数学是一个我非常钦佩，和我仍然渴望。

• 亨利·伦巴第（Henri Lombardi）和克洛德·奎特（ClaudeQuitté）有一本（可免费获得的）教科书，《可交换代数：构造方法》。

  顾名思义，这是可交换代数而不是代数几何，但是由于可交换代数为代数几何提供了许多基础结构，因此这仍然是令人感兴趣的。

该地区也有许多非常有趣的博士学位论文：

• 安德列斯·莫特伯格（AndresMörtberg）的博士学位论文将类型化理论中的提炼和构造代数形式化

  获得了建设性的证明后，便有了一个算法。本文着眼于使这些算法高效。

• Bassel Mannaa的博士学位论文，构造代数中的捆语义和类型理论

  在本论文中，他以建设性的方式证明了牛顿-普瓦修斯定理的正确性，以及马尔可夫原理的独立性。它提供了一个很好的例子，说明了捆语义方法在几何和逻辑中的应用。

• Ingo Blechschmidt的博士学位论文，使用代数几何中topose的内部语言，

  本文着眼于用与方案相关的小Zariski主题的内部语言重做许多代数几何的常用证明，从而产生一种“合成代数几何”。（他还使用大型Zariski topos进行“合成方案论”）。如您所料，由于topoi通常不是布尔值，因此必须以直觉的方式进行证明。

还值得指出以下参考：

• 桑德斯·麦克·雷恩（Ieke Moerdijk）。几何与逻辑中的滑轮几何与逻辑中的滑轮：topos理论的第一篇导论。

  这项工作中使用的许多技术都是通过topos理论，逻辑和几何之间的联系而来的。这是标准参考书，尽管我主要是通过Steve Vickers的论文学到的。

这可能不完全是您想要的，但是代数几何在编程语言中的一种应用是对线性循环的分析：

线性循环是形式非常简单的程序：

$x=s$

而 $x\notin F$

$x\leftarrow Ax$

哪里 $s,x\in \mathbb Q^d$ 和 $A\in \mathbb Q^{d\times d}$是一个矩阵。套装$F$ 是终止条件，可以是一些简单描述的集合（例如，多义数集或半代数集合）。

这些循环的分析通常等于分析矩阵的轨道$A$，即 $\{A^ns: n\in \mathbb N\}$。反过来，这涉及到分析特征值的幂$A$，其行为与代数几何中的概念（例如Masser基本定理）密切相关。

您可以看一下《关于轨道复杂性的论文》作为一个很好的起点。