是否存在x使得K（xx）<K（x），其中K是Kolmogorov复杂度。

令表示字符串的Kolmogorov复杂度。是否存在这样的字符串，使得。（此处是与自身的串联）。这里提出了一个类似但不同的问题，但该问题答案中给出的反例不适用于该问题。 $K(x)$ $x$ $K(xx)<K(x)$ $xx$ $x$

cc.complexity-theory kolmogorov-complexity

Answers:

我不是Kolmogorov复杂度的专家，但是我认为可以为每个复杂度函数K构造如下x。由于1，11，1111，11111111，…，1 ^{2 ⁿ}，…是自然数n的编码，因此K（1 ^{2 ⁿ}）不能为o（log n）。然而，当n＝^2m时，显然K（1 ^{2 ⁿ}）＝ K（1 ^{2 ^{2 ^m}}）＝ O（log m）＝ O（log log n）。因此，序列K（1），K（11），K（1111），K（11111111），…，K（1 ^{2 ⁿ}），…不能弱单调增加，这意味着存在一个字符串 x的形式为1 ^{2 ⁿ}使得K（xx）<K（x）。

— 伊藤刚
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@Tsuyoshi，是否存在不可压缩的字符串

使得

？

x

$x$

K (x x) < K (x)

$K(xx)\lt K(x)$

— Mohammad Al-Turkistany

我认为

和K（1 ^ {2 ^ n}）=Ω（log n）相互矛盾。他的意思是：如果

则

。否则，证明似乎很好。

K (1^{2^{2^{m}}}) = O (\log m)

$K(1^{2^{2^m}})=O(\log m)$

f (n) = o (\log n)

$f(n)=o(\log n)$

K (1^{2^{n}}) \neq O (f (n))

$K(1^{2^n})\neq O(f(n))$

— 逊·雅各布森

这似乎有效。确实，我认为它为您提供了无限的此类字符串序列。但是，要么我误解了什么，要么维基百科（en.wikipedia.org/wiki/Chain_rule_for_Kolmogorov_complexity）中出现的关于Kolmogorov复杂性的链式规则声明是错误的。最初，我认为Wikipedia的定义可能不适用于此处，因为您必须能够知道X结束和Y从哪里开始，而这里似乎并不需要，但是当Y = X时，您可以将其添加到O（1）说“在中间分裂”。

— 亚伯·莫利纳

@Sune：符号Ω（⋅）有几个稍微不同的定义。我的答案中的“ K（1 ^ 2 ^ n）=Ω（log n）”表示“ limsup K（1 ^ 2 ^ n）/ log n> 0”，并且与“ K（1 ^ 2 ^ 2）不矛盾^ m）= O（log m）。我编辑了答案以澄清这一点。另请参阅我们应该教渐近增长率的哪个定义？

— 伊藤刚（Tsuyoshi Ito）

@turkistany以及所有：请注意，对于某些常数，K（xx）> K（x）-c总是正确的，我认为应该指出这一点。这也意味着如果我们想研究这个问题，我们需要一个非常精确的不可压缩定义。我想答案还是肯定的，但是我没有证据。

— domotorp 2011年

是。实际上，Kolomogorov的复杂性确实取决于您的模型。图灵机，Java程序，C ++程序......如果模型中存在一种特质，可以在有限的一组输入上发生这种情况，那没有问题。

更好的问题是您可以摆脱多少这种行为，仍然可以使模型成为通用模型。

— 乍得·布鲁贝克
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我认为一个更好的问题是：是否所有模型都存在这样的x？我不知道正式的“模型”是什么，但是Tsuyoshis答案似乎适用于所有合理的编程语言。

— 逊·雅各布森

您可以指定

到

和一些较大的

，仍然有一种普遍模式。

0

$0$

x x

$xx$

x

$x$

— 卡夫

@Tsuyoshi：

我不太了解你的证明。

假定我们选择一个标准的图灵机作为“描述语言”，将定义为最小TM的状态数，该状态以空磁带开头并在打印字符串后停止 $K(s)$ $s$ 。

你有没有证明，我们可以建立一个说，“打印”的字符串在磁带上，并建有较少的状态不是说，“打印”的字符串 $TM_{ss}$ $ss = 1111...1 = 1^{2^{n+1}}$ $TM_{s}$ $s = 1^{2^n}$ ？

您的证明可以应用于TM的Kolmogorov复杂度吗？

好！我得到它 ...当的可以是“动力”与一个新的“内环”（我们添加一些国家，但我们可以删除许多状态，在需要用于“计数“ ）...谢谢！ $n+1 = 2^{m}$ $TM_{ss}$ $TM_{s}$ $n$

（对不起，但我不知道如何发表此评论）

— 马齐奥·德·比亚西（Marzio De Biasi）
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为了写评论由他人为您发了一个帖子是不是回答你的问题，你需要点声望值至少为50

— 刚伊藤