引导结果真正引导

TCS中有一种结果，通常称为引导结果。通常，它的形式

如果命题 $A$ 成立，然后命题 $A'$ 持有。

哪里 $A$ 和 $A'$ 是看起来相似的命题，并且 $A$ 似乎“较弱” $A'$，这就是我们将这种结果命名为原因的原因。让我举一些具体的例子：

定理。 [Chen and Tell，STOC'19]解决任何问题$\Pi \in \{\mathsf{BFE,W_{S_5},W5STCONN}\}$ 。假设每个$c>1$ 无限地存在 $d\in \mathbb{N}$ 这样 $\mathcal{TC}^0$ 深度回路 $d$ 需要更多 $n^{1+c^{-d}}$ 电线解决问题 $\Pi$。那么对于任何$d_0,k \in \mathbb{N}$， $\Pi$ 无法解决 $\mathcal{TC}^0$ 深度回路 $d_0$ 和 $n^k$ 电线，因此 $\mathcal{TC}^0 \subsetneq \mathcal{NC}^1$。

定理。 [Gupta等人，FOCS'13]假设在特征0的字段上计算永久物需要深度大于算术电路。然后计算永久物需要超多项式大小的算术电路，因此，Valiant的猜想成立。$3$$n^{\Omega(\sqrt{n})}$$0$

好吧，一个更著名但不太合适的示例来自细粒度的复杂性：

定理。 [Backurs和Indyk，STOC'15]（如果在RAM模型上）可以在$O(n^{2-\epsilon})$时间内计算出EDIT DISTANCE ，那么我们将比现有的SAT解算器更快。

更新。（2019年7月10日），编辑距离示例可能会有些混乱。有关“标准”示例，请参阅Ryan的答案。

正如您可能想象的那样，（据我所知）所有这种类型的结果都是通过采用对立的（我在编辑距离中采用了对立的）来证明的。因此从某种意义上讲，这些都是算法结果。

通常，有两种方法可以了解引导结果。1. 如果我们想证明，我们只需要证明然后应用结果即可。2.证明可能很困难，因为我们认为先验证明很难。$A$$A'$$A$$A'$

问题是，如果根本不存在对引导程序结果的任何积极使用，那么一个人（或更确切地说，我）可能很难乐观并初步了解！所以我的问题是

我们是否知道任何证明自举结果？$A$

通过自举可证明的经典结果（适用于证明真实的下界）是在任何具有 $TIME(n) \neq TIME(n^c)$对于一些常数$c > 1$，实际上 $TIME(n) \neq TIME(n^{1+\epsilon})$，每个 $\epsilon > 0$。

这个想法是，如果 $TIME(n) = TIME(n^{1+\epsilon})$，我们可以重复应用padding参数来获得 $TIME(n) = TIME(n^c)$对于每个常数$c$。您甚至可以使用这种参数在各种情况下略微改善已知的时间层次定理。

我不确定这是否有用，因为它们全部来自同一篇论文，但是在克雷格·金特里（Craig Gentry）首次通过基于理想晶格的完全同态加密时，他首先表明，要构建FHE方案，就足以构建“某种程度上”具有一定性质的“同态”加密方案（其解密电路比该电路可以加密的深度浅）。然后，他通过大量工作展示了如何构建这种有点同态的加密方案。

黄最近的证明 $A'$，敏感性猜想，涉及证明 $A$已知暗示它。请参阅亚伦森的博客：

从Gotsman和Linial在1992年的开创性工作中，众所周知，要证明敏感性猜想，就足以证明以下甚至更简单的组合猜想 $A$：

令S为n维布尔超立方体的任何子集， $\{0,1\}^n$，具有大小 $2^{n-1}+1$。然后，在S中必须有一个点，其中S中至少有〜nc个邻居。

在计算学习理论中，我想到的一件事就是促进。实质上：

在PAC环境中，如果您的课程学习能力较弱 $\mathcal{C}$ (i.e., something doing "merely better" than random guessing), then you obtain a (strong) learner for class $\mathcal{C}$.

Typically, this is indeed used by obtaining a weak learner.