相似图查询的有效图同构

给定图形G1，G2和G3，我们要在G1和G2以及G1和G3之间执行同构测试F。如果G2和G3非常相似，使得G3是通过从G2删除一个节点并插入一个节点而形成的，并且我们得到了F（G1，G2）的结果，那么我们可以计算F（G1，G3）而不必从头开始计算它吗通过扩展任何现有的最新方法？

例如，如果G2由节点2、3、4、5组成，而G3由节点3、4、5、6组成，我们可以利用F（G1，G2）的结果来计算F（G1， G3）更有效？

graph-theory graph-algorithms graph-isomorphism

— 黄ric
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我现在没有争论。但是我的直觉是，您的问题在道德上与重建设想有关（en.wikipedia.org/wiki/Reconstruction_conjecture）。

— 曹艺新

这是一个简单的多项式时间缩减，可以证明问题是GI完整的：即使您知道是同构的，也要检查由删除并添加节点构成的是否同构于，同图同构一样困难本身（在最坏的情况下）。 $G_1, G_2$ $G_3$ $G_2$ $G_1$

给定两个图构建 $G = (V, E), G'= (V', E')$

$G_1 = ( V \cup V' \cup \{u\},\; E \cup E' \cup \{ (v_i,u) \mid v_i \in V \})$

即，两个图的并集加上连接到所有顶点的额外节点 $u$ $V$

选择 ; 显然，它们是同构的。 $G_2 = G_1$

现在构建删除并添加连接到所有顶点： $G_3$ $u$ $u'$ $V'$

$G_3 = ( V \cup V' \cup \{u'\},\; E \cup E' \cup \{ (v_i',u') \mid v_i' \in V'\} )$

$G_1, G_3$ 是同构，而是同构。 $G, G'$

— 马齐奥·德·比亚西（Marzio De Biasi）
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这是一个很好的减少！但是，我要补充一点，仅GI完整性并不一定意味着没有优势，而只是在最坏的情况下它们的复杂性与多项式相关。再举一个例子，请注意顶点着色的GI也是GI完整的，但是我所知道的大多数算法仍然可以通过有用的方式利用顶点颜色。

— 约书亚·格罗肖

@JoshuaGrochow：谢谢，我澄清了这一点。

— Marzio De Biasi

@MarzioDeBiasi：谢谢您的解释。根据我对您的解释的理解，如果连接到u和u'的顶点不同（不一定连接到V或V的所有顶点），我们就无法利用已知F（G1，G2）来计算F（G1，G3）。 V'），即使我们知道G和G'是同构的。那是对的吗？在这种情况下，这个问题与图同构本身一样难吗？

— Eric Huang

@EricHuang：还原说，给出了两个同构的图和明确的方式来构建通过删除/添加一个节点（和一些边缘）到检查是否问题是同构是硬如图同构。顺便说一句，这个结果还扩展到相关的promise问题，在该问题中，您没有得到显式的方式来构建，而仅给出了是同构的，直到节点删除/添加操作为止。

G_{1}, G_{2}

$G_1, G_2$

G_{3}

$G_3$

G_{2}

$G_2$

G_{1}, G_{3}

$G_1, G_3$

G_{3}

$G_3$

G_{1}, G_{3}

$G_1,G_3$

— Marzio De Biasi

您可以尝试使用Weisfeiler-Lehman方法或其变体，特别是如果您的原始图具有平面，树形，区间图或有界树宽图之类的结构时，其Weisfeiler-Lehman维数是一个小常数，在细化步骤中，我想您可以利用两个图之间的关系。

— Rupei Xu