平方根和的上限的证明

在[1]中，Garey等人。在确定欧几里得TSP的NP完整性的过程中，找出后来被称为平方根和的问题。

给定整数 $a_1, a_2, \ldots, a_n$ 和 $L$，确定是否 $\sqrt{a_1} + \sqrt{a_2} + \cdots + \sqrt{a_n} < L$

他们观察到，这个问题甚至都不在NP中，因为不清楚在平方根的计算中需要多少精度的最小位数才能将和与 $L$。但是，他们确实引用了一个最著名的上限$O(m2^n)$ 哪里 $m$是“原始符号表达式中的位数”。不幸的是，此上限仅归因于AM Odlyzko的个人通信。

是否有人对此上限有适当的引用？或者，在没有公开参考文献的情况下，证明或证明草图也将有所帮助。

注意：我相信这个界限可能是Bernikel等人得出的更一般性结果的推断。等 [2]大约在2000年左右开始使用更大的算术表达式。我最感兴趣的是同时期的参考文献（即1976年左右的文献）和/或专门针对平方根之和的证明。

1. Garey，Michael R.，Ronald L. Graham和David S. Johnson。“ 一些NP完全几何问题。” ACM第八届年度计算机理论研讨会论文集。ACM，1976年。

2. Burnikel，Christoph等人。“ 涉及自由基的算术表达式的边界很容易计算。” Algorithmica 27.1（2000）：87-99。

这是一个草率的草图。让$S = \sum_{i=1}^n \delta_i \sqrt{a_i}$ 哪里 $\delta_i \in \{\pm 1\}$。最多是一个代数数$2^n$ 和高度 $H = (max(a_i))^{n}$。现在很容易检查$S = 0$ （即使在 $TC^0$-看到这个）。$S \neq 0$ 那么它必定会远离 $0$ 的数量（因为它是一个代数数，因此是一元多项式的非零根），它是的最小多项式的次数和高度的函数 $S$。不幸的是，对度的依赖是平方根数的指数（如果$a_i$的是互斥的素数，这个程度的界限甚至很严格，尽管符号评估很容易处理。因此，所需的精度是平方根数的指数，即$2^n$位 $S$。现在就可以截断每个$\sqrt{a_i}$ 说 $2^{10n}$位以确保符号正确无误。通过多项式牛顿迭代的许多步骤可以轻松完成此操作。现在到检查和是否为正，这只是加法，因此求和后的位数是线性的。注意，此计算在BSS机器上以多项式时间进行。还要注意，我们没有直接使用的最小多项式进行任何计算$S$本身可能具有巨大的系数并且看起来很丑陋，我们只是用它来推理我们需要截断平方根的精度。有关更多详细信息，请参阅Tiwari的论文。