求解完全单模整数线性程序的速度有多快？

（这是此问题及其答案的后续内容。）

我有以下完全单模（TU）整数线性程序（ILP）。这里 都是正整数输入的一部分。变量的指定子集设置为零，其余的可以取正整数值：X 我$\ell,m,n_{1},n_{2},\ldots,n_{\ell},c_{1},c_{2},\ldots,c_{m},w$$x_{ij}$

最小化

$\sum_{j=1}^{m}c_{j}\sum_{i=1}^{\ell}x_{ij}$

受：

$\sum_{j=1}^{m}x_{ij}=n_{i}\,\,\forall i$

$\sum_{i=1}^{\ell}x_{ij}\ge w\,\,\forall j$

标准形式的系数矩阵是（2 \ ell + m）\ times \ ellm$(2\ell+m)\times \ell m$矩阵，其条目来自${-1,0,1}$。

我的问题是：

解决此类ILP的多项式时间算法的运行时间已知的最佳上限是多少？您能指出一些对此的参考吗？

我进行了一些搜索，但是在大多数地方，他们不停地说TU ILP可以使用LP的多项式时间算法在多项式时间内求解。看起来很有希望的一件事是Tardos [1]在1986年发表的一篇论文，她证明了可以通过时间多项式以系数矩阵的形式解决这些问题。但据我所知，该算法的运行时间又取决于求解LP的多项式时间算法的运行时间。

我们是否知道解决这种特殊情况的算法（TU ILP）比解决LP问题的通用算法快得多？

如果不，

哪种LP算法可以最快（从渐近的角度）解决这种ILP？

[1]解决组合线性程序的强多项式算法，Eva Tardos，运筹学34（2），1986年

我相信在 Yannakakis的一类完全单模矩阵上，可以为您的TU ILP特殊情况（当二分图中没有奇数环时，将系数矩阵视为邻接矩阵）提供了答案。

在那篇论文中，有一类线性程序引用了多项式算法，该算法似乎可以处理所有完全单模的矩阵，但是我不确定它与LP的通用算法相比效率高多少。

$O([n^3/\ln n]L)$

已经证明，在“简并性假设”下，在强多项式时间内完全单模LP是可解的- 链接（因此，如果ILP具有完全相同的假设的完全单模（TU）公式，则该算法将求解TU ILP。强多项式时间，这是从Tardos的方法发展而来的，它暗示着TU（完全单模）ILP公式的界限更严格。