复杂性下限：决策树和RAM之间的差距

我最近在决策树模型中发现了问题复杂性的二次下界，我不知道是否可以将此结果部分推广到随机访问机器模型。通过部分，我的意思是推广到RAM中的程序具有一定的时间/空间权衡。例如，我想表明我的问题无法通过线性时间和-space RAM程序解决。

AM Ben-Amram和Z. Galil在本文中证明，可以在指针机器上以时间模拟在时间和空间运行的RAM程序。我们是否知道可以应用于决策树的类似结果？ $t$ $s$ $O(t \, \log s)$

或者，是否有可能以模拟太空运行的RAM程序有度的决策树？（直观上，可以使用度为节点模拟间接寻址） $s$ $s$ $\leq s$

cc.complexity-theory lower-bounds

— 龙猫
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我对经典查询复杂度（决策树复杂度）了解不多，但是在量子设置中的类似模型（量子查询复杂度）下工作时，有时会得到电路模型的下限。例如，对于HSP，您可以证明查询复杂度是多项式，但是查询之间的unit是门的指数级...而且，据我们怀疑一般HSP在多项式时间内不可行，因此查询复杂度仅给出下限非常宽松。还是您的下限很宽松？

— Artem Kaznatcheev

实际上，我真的很想为运行在RAM上的（某些）程序获得一个超线性下限。这就是为什么我希望限制空间的复杂性可以有所帮助。

— 龙猫

我不懂你的问题。您如何在查询复杂度上有一个二次下限？同样，时空权衡通常使用直接乘积定理，因此您可能必须更加努力才能获得这样的结果。

— 哈特穆特·克拉克

决策树模型中的复杂度下限来自问题的可能输出数量的下限（其对数提供了树的高度的下限）。

— 龙猫

Answers:

可以模拟RAM的与决策树相关的自然模型是分支程序。基本上，这是一个决策树，其中合并了公共子树，产生了DAG。RAM上的时间T和空间S可以在分支程序中以高度T和大小2 ^ S模拟。（您可能需要使用多向分支。）

对于决策问题，很明显，任何决策树仅需要height =＃个输入和space =输入中的总位数。请注意，使用多路分支时，输入中的＃位可能大于输入＃的常规度量（例如，n个指针各自占用log n位。）对于此类问题，nlog总输入位为n个，可以证明时间O（n）和space = O（n）位不能解决某些问题。那是你的问题形式吗？

您似乎建议您使用输出的＃尝试获得更大的下限。通常，对于多输出问题，允许沿单个边缘而不是在叶节点处有多个输出（例如，参见Borodin-Cook 1982年发表的有关对下限进行排序的论文）。但是，即使没有这种假设，也可以使用height =＃个输入和space =＃个输入位来计算任何函数。（读取并记住输入，并在每个叶节点上输出所有值。）

— 保罗·比默
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谢谢您的回答。问题的输入是一组整数的集合，因此可以认为它们以列表形式给出。无论如何，谢谢您指出了鲍罗丁和库克的技术（我一点也不知道）。我希望这种方法可以应用于我的问题。

— 龙猫

与决策树相关的自然模型是分支程序，它可以无损地模拟RAM。基本上，这是一个决策树，其中合并了公共子树，产生了DAG。RAM上的时间T和空间S可以在分支程序中以高度T和大小2 ^ S模拟。（您可能需要使用多向分支。）

对于决策问题，很明显，任何决策树仅需要height =＃个输入和space =输入中的总位数。请注意，使用多路分支时，输入中的＃位可能大于输入＃的常规度量（例如，n个指针各自占用log n位。）对于此类问题，nlog总输入位为n个，可以证明某些问题无法在RAM上的时间O（n）和space = O（n）位解决。）这是问题的形式吗？

您似乎建议您使用输出的＃尝试获得更大的下限。但是，即使这样，您也可以使用height =＃个输入和space =＃个输入位来计算任何函数。（读取并记住输入，并输出每个叶子节点所需的所有值。通常在单个节点上允许多个输出。）

— 保罗·比默
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作者最好将此答案与上一个答案合并，因为它们几乎相同。

— Oleksandr Bondarenko