钻石规范与相关状态的距离之间是否有任何联系？

在量子信息论中，两个量子通道之间的距离通常使用菱形法则来测量。还有许多方法可以测量两个量子态之间的距离，例如走线距离，保真度等。Jamiołkowski同构提供了量子通道和量子态之间的对偶。

至少对我而言，这很有趣，因为众所周知，钻石规范很难计算，而Jamiołkowski同构似乎暗示着量子通道的距离量度与量子态之间的某些相关性。因此，我的问题是：钻石规范中的距离与关联状态之间的距离（在某种程度上）之间是否存在任何已知关系？

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我不确定“钻石标准很难计算”的意思。如果给您一个量子通道作为显式矩阵（例如，其Choi-Jamiołkowski表示形式），则可以制定其钻石标准的平方作为半定程序；请参阅John Watrous的讲义第20.4节。从这个意义上讲，钻石规范具有一种有效的计算方法。

— 伊藤刚（Tsuyoshi Ito）

@Tsuyoshi：我只是在指隐式优化。我的意思不是要花大力气，而是要尴尬。

— Joe Fitzsimons

顺便说一句，这些都是很好的讲义。

— Suresh Venkat

@Suresh @Tsuyoshi：是的，它们是很好的笔记，但我认为它们不能回答这个特定问题。

— Joe Fitzsimons

@TsuyoshiIto：由于某种原因，QIP幻灯片的最后一部分是20.3，您是否有更完整的讲座设置？

— 阿特姆·奥伯图洛夫

Answers:

对于量子通道，让我们写表示关联状态：在这里，我们假设通道会根据您喜欢的正整数和选择将（即复数矩阵）到。基质有时也被称为矩阵彩或财Jamiolkowski表示，但它是更频繁的是，当这些术语用于省略正常化。 $\Phi$ $J(\Phi)$

J (Φ) = \frac{1}{n} \sum_{1 \leq i, j \leq n} Φ (| i ⟩ ⟨ j |) \otimes | i ⟩ ⟨ j | .

$J(\Phi) = \frac{1}{n} \sum_{1\leq i,j \leq n} \Phi(|i \rangle \langle j|) \otimes |i \rangle \langle j|.$

M_{n} (C)

$M_n(\mathbb{C})$

n \times n

$n\times n$

M_{m} (C)

$M_m(\mathbb{C})$

n

$n$

m

$m$

J (Φ)

$J(\Phi)$

Φ

$\Phi$

\frac{1}{n}

$\frac{1}{n}$

现在，假设和是量子通道。我们可以将它们之间的“钻石范数距离”定义为其中表示来自本身，表示迹线范数，并且对所有以及从选择的所有密度矩阵。选择某些选项总是可以实现最高 $\Phi_0$ $\Phi_1$

‖ Φ_{0} - Φ_{1} ‖_{◊} = sup_{ρ} ‖ (Φ_{0} \otimes {Id}_{k}) (ρ) - (Φ_{1} \otimes {Id}_{k}) (ρ) ‖_{1}

$\| \Phi_0 - \Phi_1 \|_{\Diamond} = \sup_{\rho} \: \| (\Phi_0 \otimes \operatorname{Id}_k)(\rho) - (\Phi_1 \otimes \operatorname{Id}_k)(\rho) \|_1$

{Id}_{k}

$\operatorname{Id}_k$

M_{k} (C)

$M_k(\mathbb{C})$

‖ \cdot ‖_{1}

$\| \cdot \|_1$

k \geq 1

$k \geq 1$

ρ

$\rho$

M_{n k} (C) = M_{n} (C) \otimes M_{k} (C)

$M_{nk}(\mathbb{C}) = M_n(\mathbb{C}) \otimes M_{k}(\mathbb{C})$

k \leq n

$k\leq n$ 和一些等级1密度矩阵。

ρ

$\rho$

（请注意，以上定义不适用于任意映射，仅对于完全正向映射和形式为形式的映射。对于常规映射，最高值将覆盖具有迹线范数的所有矩阵1，而不是密度矩阵。） $\Phi = \Phi_0 - \Phi_1$ $\Phi_0$ $\Phi_1$

如果您在渠道上没有任何其他假设，那么除了这些粗略界限外，您无法过多谈论这些规范的关系：对于第二个不等式，一个本质上是在解决特定的选择而不是在所有

\frac{1}{n} ‖ Φ_{0} - Φ_{1} ‖_{◊} \leq ‖ J (Φ_{0}) - J (Φ_{1}) ‖_{1} \leq ‖ Φ_{0} - Φ_{1} ‖_{◊} .

$\frac{1}{n} \| \Phi_0 - \Phi_1 \|_{\Diamond} \leq \| J(\Phi_0) - J(\Phi_1) \|_1 \leq \| \Phi_0 - \Phi_1 \|_{\Diamond}.$

ρ = \frac{1}{n} \sum_{1 \leq i, j \leq n} | i ⟩ ⟨ j | \otimes | i ⟩ ⟨ j |

$\rho = \frac{1}{n} \sum_{1\leq i,j \leq n} |i \rangle \langle j| \otimes |i \rangle \langle j|$

ρ

$\rho$ 。第一个不等式在出价上更加困难，但是对于量子信息研究生课程而言，这将是一个合理的分配问题。（在这一点上，我要感谢您的问题，因为我完全打算在我的量子信息理论课程的秋季课程中使用该问题。）

对于通道和的适当选择，即使在通道完全可区分的附加假设下（即），也可以实现任一个不等式。 $\Phi_0$ $\Phi_1$ $\| \Phi_0 - \Phi_1 \|_{\Diamond} = 2$

— 约翰·沃特罗斯
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谢谢约翰，这很好地回答了我的问题，并为我节省了很多时间。

— Joe Fitzsimons

您可能还想研究距离度量以比较真实和理想的量子过程 arXiv：quant-ph / 0408063，该概述概述了量子通道的距离度量及其关系。

他们使用术语S距离表示菱形距离，使用J距离表示与通道关联的Jamiołkowski算符的走线距离。

— 安东尼奥·瓦莱里奥·米西里·巴隆
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我喜欢想到Watrous在概率信道隐形传态方面写的第一个不等式。如果您将菱形范数解释为区分通道和最小误差概率的度量，并且将跟踪范数视为与其Jamiolkowski状态等效的跟踪范式，则始终可以针对通道从其相应状态实现最佳策略，即成功概率。严格说明这一点可能是证明不平等的一种方法。 $\Phi_0$ $\Phi_1$ $\frac{1}n$

同样，这种思维方式表明，如果可以确定性地传输信道（例如Pauli信道），那么它们的菱形范数等于Jamiolkowski迹线距离。

— 亚历克斯·蒙拉斯
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