NP相交的完全问题的后果coNP

什么是具有完全问题的后果？$NP\cap coNP$

这是一个（广泛的）开放问题。如，我们几乎一无所知。具体而言，因为在trickiness的证明 $NP \cap coNP$ -完整的问题，我们需要非常不同的证明技巧比目前存在的。因此，关于后果的讨论应合理地包含一条切线：“拥有如此强大的新证据技术意味着什么？”

有关该主题的最新讨论，请参阅2007年ACM的算法交易（PDF）中的David Johnson的第26个NP-Completeness专栏。请允许我套用一些什么，大卫说就证明问题$NP \cap coNP$ -complete问题的存在，并添加了我的想法：

目前，我们只能按成员的“弱，”自然候选人$NP \cap coNP - P$在这个意义上，最强的证据对他们的会员是，我们没有设法为他们找到一个多项式时间的算法呢。他列出了几个候选人：小因素，简单的随机游戏和平均支付游戏。这些问题有些额外的“怪诞”的来自最好的启发式运行时间解决这些问题，比如小的因素，又名整数因子$\le k$，有一个随机的时间复杂度$poly(n) 2^{\sqrt{k log(k)}}$。（如果在存在完全问题$NP \cap coNP - P$，然后是这样的子指数（均未纯指数，也不相当多项式）运行时特有的类的？）

那么具体的，我们希望证明是这样的：问题的是只有在$P$当且仅当$NP \cap coNP = P$，即一个完整像库克定理3SAT和结果$NP$。对于$NP$，这样的证明通常涉及多项式时间的减少（并修正您最喜欢的其他限制，例如Cook减少，Karp减少）。结果，在多项式时间归约技术下，必须是存在该类的多项式时间可识别表示的情况。对于$NP$，我们可以使用在多项式p内停止的非确定性图灵机$p(|x|)$，步数。正如David指出的，我们有其他类（其中的地位更加清晰），如类似表述$PSPACE$和＃$P$。

困难，但是，与提供用于类似的表示$NP \cap coNP$的是，“天然”类似物允许我们嵌入停机问题的表示内，因此是不可判定。也就是说，考虑下面的企图表示$NP \cap coNP$与两个非确定性图灵机的是，据称，承认互补的语言：

问：是否图灵机$M^*$输入停止$x \in {0,1}^n$？

如下构造两个线性时间图灵机$M_1$和$M_2$。在输入$y$，$M_1$读取输入并始终接受。$M_2$总是拒绝，除非$|y| \ge |x|$和$M^*$接受$x$步骤$\le |y|$。

因此，$M_1$和$M_2$接受补充语言，前提是 $M^*$在输入$x$不停止。因此，由于矛盾，无法确定两个多项式时间图灵机是否接受互补语言。

所以，“自然”表示$NP \cap coNP$问题是不多项式时间识别的。现在的问题是：你如何代表$NP \cap coNP$这样的问题：他们是多项式时间识别？

目前已经对这个问题做了不显著的工作，但它的成功解决是必要的证明完整性在$NP \cap coNP$。因此，我主张的证明技术，可以解决的完整性存在$NP \cap coNP$将是更大的故事在这里-而不是“自动”结果$NP \cap coNP$ -complete问题（例如我们假设已经知道（或者假设将来会知道）的复杂性类（可能正在崩溃）。