FPT问题的难度

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顶点覆盖可以轻松地减少为独立集，反之亦然。

但是，在参数化复杂度的情况下，独立集比“顶点覆盖”困难。对于“顶点覆盖”，存在具有个顶点的内核，但“独立集”的难度为W 1。 $2k$

在FPT的背景下，独立集的性质如何变化？为什么？

cc.complexity-theory parameterized-complexity fixed-parameter-tractable

— 尼基尔
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答案的主要思想：如果将参数化的独立集的实例简化为参数化的Vertex Cover，则最终得到的参数取决于图形的大小，而不仅取决于输入参数。现在获取更多详细信息。

大家知道，一个参数化的问题是在（均匀）的FPT如果存在判定是否输入的算法被包含在在时间为一些功能。 $Q$ $(x,k)$ $Q$ $f(k) |x|^{O(1)}$ $f$

由于您可以通过选择一条边并在其两个端点中的哪个端点上放置顶点覆盖来决定图是否具有大小为的顶点覆盖，因此该分支仅行进了深（否则，您放置了多于顶点中的顶点），并且可以轻松地在时间；因此 -Vertex Cover在FPT中。 $G$ $k$ $k$ $k$ $O(2^k n^2)$ $k$

现在假设我们想尝试使用该算法来证明参数化的独立集在FPT中；假设我们在个顶点上得到了图，并想确定它是否具有独立的大小。这等效于询问是否具有大小为的顶点覆盖。因此，我们使用上述算法来计算时间的答案。对于我们的FPT算法，运行时间中的指数函数可能取决于参数，但可能不取决于输入大小；但是我们所描绘的方法使用的时间指数为 $G$ $n$ $\ell$ $G$ $n - \ell$ $O(2^{n - \ell} n^2)$ $\ell$ $n$ $n - \ell$ 因此，相对于参数而言，它不是FPT参数。这就是为什么顶点覆盖在FPT中并不意味着独立集在FPT中的原因。 $\ell$

— 巴特·詹森
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感谢所有的答复。在参数化复杂性的上下文中，当我尝试研究独立集的硬度时（从顶点覆盖中得出），我理解了这个想法。但是，我没有发现任何独立于Vertex Coverage上下文的独立集解释？寻找独立集的结构（或内在本质）中是否有某些东西使其变得更加困难？

— Nikhil

巴特，为什么没有参数可以按照期望进行归约？

k

$k$

— 拉斐尔

@Raphael：您能澄清您的问题吗？该只 “允许”由OP的问题参数是各自的解决方案尺寸。如果我们允许使用任意参数，那么有许多可以按期望进行归约的方法（如果我正确理解了这句话）：例如，如果我们将两个问题的参数都保持为“最小顶点覆盖层的大小” ，则都是FPT；MinVC由Bart的参数决定，而MaxIndSet由相同的参数并使用OP的约简。只有当我们坚持认为MaxIndSet的参数是其解决方案的大小时，问题才变得W [1]困难。

— gphilip 2011年

您完全理解了我的问题！从这个意义上讲，OP的问题是不恰当的：谈论（非参数化）问题和参数对的参数化复杂度是有意义的。我在思想上以“ forall”填补了空白，这意味着我也以“ for all ”的意义阅读了Bart的答案，并认为这是错误的/不完整的。因此，我的问题。顺便说一句，其他答案也有同样的问题。显然，除了我之外，每个人都用规范的选择填补了空白。

k

$k$

— 拉斐尔

6

我不会说问题的“性质”会发生变化，无论这意味着什么。所有这些更改都是参数，即度量问题难度的方式。

具有最大为的顶点覆盖的图的结构如此，可以有效地减小它们的尺寸：我们可以贪婪地找到最大为的尺寸的最大匹配项，而图的其余部分至少是一个独立的尺寸集。使用诸如冠减少的减少规则，顶点的数量最多可以减少到。 $k$ $k$ $n-2k$ $2k$

另一方面，顶点覆盖范围最大为（或等效地，最大独立大小至少为）似乎没有这样简单的结构。正如您所指出的那样，这可以很精确：它们的结构使我们可以编码任何问题。 $n-k$ $k$ $W[1]$

— 霍尔格
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4

以下可能会给您一些区别的直觉。当且仅当VS是一个独立集合时，顶点子集S才是G =（V，E）的顶点覆盖，因此，如果MVC是最小顶点覆盖的大小，则MIS = | V | -MVC是最大独立集。由X参数化的FPT算法允许作为X的函数的指数运行时间。在n个顶点上，边缘概率为一半的随机图具有MIS大小约为2logn和MVC大小约为n-2logn的高概率。因此，至少对于这些图形，由MVC参数化的FPT算法仅比由MIS参数化的一种允许更多的时间。

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尽管我同意其他人的说法，但是在思考这些问题时，我发现另一种有用的方法是将问题重铸为识别问题，即“输入图是否属于顶点覆盖范围最大为k的图族？” /“输入图是否属于独立设置至少为k的图族？”。

从直觉上讲，比起更丰富，更一般的图形，更受限制的图形族应该更易于识别。最多k个顶点覆盖图的族非常受限制，实际上每个这样的图只能使用位来描述，这比通常的需要的位，假设k显着小于n。另一方面，至少设置了k个独立集合的图族非常丰富：通过删除最多边，可以将任何图编辑为属于它。 $O(k^2+2^k\log n)$ $O(n^2)$ $k^2$

因此，对我来说，这是一个直观的解释，为什么我希望它比较小的独立集合更容易识别较小的顶点覆盖。当然，显然上述想法与正式论点相去甚远，我想最后，最有说服力的证据表明，确实更难识别大小为k的独立集合恰恰是独立的W硬度。组！

— 迈克尔·兰皮斯
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如何去除边足以给一个图一个独立的个顶点集？如果要在个顶点的完整图中获得独立的大小为集合，我认为您需要边缘去除。

k^{2}

$k^2$

k

$k$

(\binom{k}{2}) + k \cdot (n - k - 1)

$\binom{k}{2} + k \cdot (n - k - 1)$

k

$k$

n

$n$

— 巴特·詹森，

@Bart：对于一组独立的个顶点，只需要确保在这个顶点之间不存在边，并且（简单）子图中最多有边阶为。

k

$k$ $k$

k \cdot (k - 1) \leq k^{2}

$k \cdot (k-1) \leq k^2$

k

$k$

— Mathieu Chapelle

3

这是一个非常间接的答案，可能无法完全解决您的问题。但是FPT和W层次结构与近似性紧密相关（FPT问题通常具有PTAS等）。在这种情况下，请注意，对于任何图形，VC = n-MIS，因此VC的近似值不会给出MIS的近似值。这就是为什么您需要L约简的原因。我怀疑对于参数化的复杂性，也存在等效的“保留内核减少”概念。

— 苏雷什·文卡特（Suresh Venkat）
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FPT中是否有“保留内核减少”的概念？

— Nikhil

我不知道：因此引号:)。我在等待参数化的复杂性专家的一致。

— 苏雷什Venkat

2

您刚刚召唤了它！;）

— 拉斐尔

4

有这样一个概念：多项式时间和参数转换。如果存在多项式时间算法，且给定问题的实例，则参数化问题P多项式的时间和参数将转换为Q（读取：），并在多项式时间an中输出等价实例，使得。内核化的用法如下：如果，则具有多项式内核，而和的经典版本是NP完全的，则也具有。（

P \leq_{p t p} Q

$P \leq _{ptp} Q$

(x, k)

$(x,k)$

P

$P$

(x^{'}, k^{'})

$(x', k')$

Q

$Q$

k^{'} \in k^{O (1)}

$k' \in k^{O(1)}$

P \leq_{p t p} Q

$P \leq_{ptp} Q$

Q

$Q$

P

$P$

Q

$Q$

P

$P$ dx.doi.org/10.1007/978-3-642-04128-0_57）

— 巴特扬森

另一篇说明近似性与FPT之间的关系的论文是[ dx.doi.org/10.1016/S0020-0190(97)00164-6]，其中他们表明，如果问题是W [1]难题，那么它就不能接受有效的PTAS目标函数也是参数。有效的PTAS具有时间复杂度，而时间复杂度是不允许的。在巴兹根的论文中也有同样的结果。

O (2^{1 / ϵ} n^{k})

$O(2^{1/\epsilon}n^k)$

O (n^{1 / ϵ})

$O(n^{1/\epsilon})$

— Gianluca Della Vedova