积分差距和近似率

当我们考虑一个最小化问题的近似算法时，针对该问题的IP公式的完整性差距为某些类算法（例如舍入或原始对偶算法）给出了近似比率的下限。实际上，存在许多问题，它们的最佳逼近率与完整性差距相匹配。

对于某些问题，某些算法的逼近率可能比完整性差距好，但我不知道是否存在这样的例子。如果答案是肯定的，您能举一些例子吗？

我知道有些问题允许使用多种数学公式。在这种情况下，请考虑具有最小积分间隙的数学公式，只要可以在多项式时间内求解即可（也许某些公式可能使用分隔符号）。

这个问题与[问题：完整性差距的重要性]有关。

— 雪人
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我猜想几何TSP就是这样一个问题的例子，但是我没有任何参考。

— Jukka Suomela 2011年

那么，采用转移策略来接纳PTAS的问题又如何呢？那些公司中有没有一个IP公式的完整性差距很小？

— Jukka Suomela 2011年

@Jukka几何TSP是一个很好的例子。4/3完整性间隙例如是在平面图中的最短路径度量，并且它应该是能够变成欧几里德TSP或实例

与TSP在平面

间隙

ℓ_{1}

$\ell_1$

1 + ϵ

$1+\epsilon$

— 卢卡的Trevisan

我听说它是一个有趣的开放问题，是否可以通过使用恒定数量的Sherali-Adams或Lasserre弛豫水平来实现用于平面图问题的PTAS。（常数取决于要达到的近似比率。）应该知道，或者至少可以用当前技术证明，在密集图中具有PTAS的图问题（例如最大割）也具有多项式族尺寸松弛和任意小的整体间隙。

— 卡·特雷维森

相关问题：是否有任何问题证明任何多项式大小的LP无法给出当前最著名的近似率？即使对于某些受限类型的LP，是否有可能证明这一点？

— Danu

Answers:

如前所述，有很多例子。

一个经典的例子是最大匹配，其中“自然”松弛（无奇数集约束）的间隙为2，而当然有一种有效的算法。但是，由于存在一个可以通过椭球求解的指数大小的LP，因此它还没有完全合格。

一个引人入胜的地方是设施齐全的位置。在这里，自然松弛具有无限的完整性差距。然而，基于局部搜索的算法给出了恒定因子近似值。

另一个非常有趣的问题（尽管这是一个最大化的问题）是本文：http : //www.cis.upenn.edu/~sanjeev/postscript/FOCS09_MaxMin.pdf。LP在这里有很大的差距，但是使用该LP的算法可以做得更好。

— 库纳尔
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非常感谢你。这个答案包含了我一直在寻找的东西，尤其是Chakrabarty等人撰写的FOCS论文。（本文使我非常感兴趣）。因此，我将此答案设置为接受。我仍然在寻找更多示例，因此任何可以举其他示例的人都会受到赞赏。

— Snowie 2011年

存在各种示例，其中半定规划松弛允许近似值优于线性规划松弛的已知积分间隙。

例如，最大切削的标准线性规划松弛具有1/2的完整性缺口，即使对于更复杂的线性规划松弛（cf de la Vega-Kenyon和Schoenebeck-Trevisan-Tulsiani）也是如此，但Goemans -Williamson SDP算法的逼近度为.878 ...

$\Omega(\log n)$ $O(\sqrt{\log n})$

Karloff和Zwick也许不太为人所知，它表明使用SDP可以近似Max 3SAT，在该版本中子句可以在7/8之内包含1、2或3个字面量，而Goemans和Williamson研究了线性编程松弛，用来证明3/4近似（Yannakakis通过其他方法较早地给出了3/4近似），并且很容易看出Max 3SAT的Goemans-Williamson LP弛豫具有完整性间隙3/4。

— 卢卡·特雷维森（Luca Trevisan）
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Grant还解决了GF_2上的线性系统。对于具有良好解决方案的方程式系统，您的SDP完整性缺口（非常强的形式）为2，而您可以使用高斯消除法精确地解决问题。

— 吴义
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