全息算法-基数的等价

我正在阅读Les Valiant的开创性论文，但在论文第10页上的提案4.3时遇到了困难。

我不能看到为什么它，如果有与一定值的发电机的情况下与基础，则存在一些发生器与相同任何基础的值 $valG$ $\{(a_1,b_1) \ldots (a_r,b_r)\}$ $valG$ （）或（）对于任何。 $\{(xa_1,yb_1) \ldots (xa_r,yb_r)\}$ $1^{st} kind$ $\{(xb_1,ya_1) \ldots (xb_r,ya_r) \}$ $2^{nd} kind$ $x,y \in F$

Valiant指出了上一段中的原因-即可以通过向每个输入或输出节点附加权重为的边缘来实现转换。的样改造，勇士说，可以通过附加到输入或输出节点长度的链来实现通过加权和分别。 $1^{st}$ $1$ $2^{nd}$ $2$ $x$ $y$

我还不能真正理解这些陈述。也许他们已经很清楚，但我仍然不能真正明白为什么上面的结构有助于实现任何可变现值与一个基础的新的基础是上述类型之一。 $valG$

请帮助将它们照亮给我。另一方面，在线上是否有一些关于全息算法的张量免费调查。他们大多数使用张量，可悲的是吓到我了:-(

最佳-阿卡什

ds.algorithms counting-complexity survey

— 阿卡什·库马尔（Akash Kumar）
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张量（从这个意义上来说）只是数字的数组，所以我认为除非完全没有计算，否则您不会找到无张量的测量。

所述“ ”操作形式化改变基础和附加的小工具到每个输出节点（实际上我喜欢把基的变化作为一种小工具操作的）两者的操作。令为具有标准签名的生成器匹配门。这是数字的数组。新的签名由 $T^{\otimes k}$ $\Gamma$ $M_{i_1i_2\cdots i_k}=u(\Gamma)$ $2^k$

$(T^{\otimes k}M)_{i_1i_2\cdots i_k}:=\sum_{i_1',\cdots,i_k'} T_{i_1i_1'} \cdots T_{i_ki_k'} M_{i_1'i_2'\cdots i_k'}$

其中是描述新基础的一些二乘二矩阵。 $T$

令为通过向添加新顶点，将其作为新输出，并通过权重的边缘将它们连接到旧输出而形成的匹配门。然后将新的签名是，其中是矩阵。如果再执行基础的变化你的签名。 $\Gamma'$ $k$ $\Gamma$ $x$ $C^{\otimes k}M$ $C_{ij}$ $\begin{pmatrix}0&x\\1&0\end{pmatrix}$ $TC^{-1}$ $T^{\otimes k}M$

— 科林·麦奎伦
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S

$S$

u (Γ)

$u(\Gamma)$

S = S_{0}

$S = S_0$

T^{\otimes k} \times S = u (Γ)

$T^{\otimes k} \times S = u(\Gamma)$

v a l G (Γ, x)

$valG(\Gamma, x)$ 他只是打算将perfMatch向量表示为新基础的系数之和的示例。我不确定，因为我明显缺乏张量背景。

— 阿卡什·库马尔

C^{\otimes k} M

$C^{\otimes k}M$

S_{0}

$S_0$

(T^{- 1})^{\otimes k} S

$(T^{-1})^{\otimes k} S$

T

$T$

n_{0}, n_{1}, p_{0}, p_{1}

$n_0,n_1,p_0,p_1$

(0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1)

$(0,1,1,0,1,0,0,1)$

x (1, 1, 1, 1 1, 1, 1, 0)

$x(1,1,1,1\ 1,1,1,0)$

C^{\otimes 3} w h e r e

$C^{\otimes 3} where$

C = (0, 1)^{t} (x = 1, 0)^{t}

$C = (0,\ 1)^t (x=1,\ 0)^t$

u (Γ)

$u(\Gamma)$

P_{3}

$P_3$

P_{3} ∖ Z

$P_3 \setminus Z$

u (P_{3}) = (0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1)

$u(P_3)=(0,1,0,0,1,0,0,1)$

(1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0)

$(1,0,0,1,0,0,1,0)$

(C^{\otimes 3} u (P_{3}))_{1, 2, 2} = 1

$(C^{\otimes 3} u(P_3))_{1,2,2}=1$