有界交叉数的绘制图

法里定理说，可以画出一个简单的平面图而不会相交，因此每个边都是一条直线段。

我的问题是有界交叉数图是否有一个类似的定理。具体来说，我们是否可以说可以绘制一个具有交叉数k的简单图形，以便在图形中有k个交叉，并且每个边缘对于某些函数f而言都是度为f（k）的曲线？

编辑：正如大卫·埃普斯坦（David Eppstein）所言，很容易看出法里定理蕴含一个具有交叉数k的图的图形，因此每个边都是最多具有k个弯曲的多边形链。我仍然很好奇，尽管是否可以用有界度曲线绘制每个边缘。张显治指出，如果k为0、1、2、3，则f（k）= 1，否则，f（k）> 1。

如果图形具有有界的交叉数，则可以在折线的有限数量中用折线模型中的该交叉数来绘制（即，每条边都是多边形链，比有界度代数曲线更常见于图形绘图文学中）每个边缘。如果每个边的交叉点数量有限，则也是如此。要看到这一点，只需将图形平面化（用一个顶点替换每个交叉点），然后应用Fáry。

现在，要使用它来回答您的实际问题，您需要做的是找到一条任意接近给定折线的代数曲线，其度数受折线折弯次数的函数限制。这也可以很容易地完成。例如：对于每个细分$s_i$ 的折线，让 $e_i$ 偏心率很高的椭圆，非常接近 $s_i$， 然后让 $p_i$ 是在外部为正的二次多项式 $e_i$ 和负面的内心 $e_i$。让您的整体多项式采用以下形式$p=\epsilon-\prod_i p_i$ 哪里 $\epsilon$是一个小的正实数。然后曲线的一个分量$p=0$将位于椭圆的并集之外一点，可以用来代替折线；其度数将是椭圆数的两倍，椭圆数在每个边的交叉数中是线性的。

这称为直线交叉数 $\overline{\mathsf{cr}}(G)$，这是图形所有可能的直线图之间的最小交叉点数 $G$。与正常的穿越次数比较$\mathsf{cr}(G)$，可以看到 $\overline{\mathsf{cr}}(G) \geq \mathsf{cr}(G)$。您的问题本质上与询问是否$\overline{\mathsf{cr}}(G) = \mathsf{cr}(G)$ 如果 $\mathsf{cr}(G) \leq k$ 对于一些常数 $k$。

Bienstock和Dean 在论文《直线交叉数的界》中证明了

定理。如果$k \leq 3$， 我们有 $\overline{\mathsf{cr}}(G) = \mathsf{cr}(G)$。而对于$k \geq 4$，有图 $G_n$ 与 $\mathsf{cr}(G) = 4$ 和 $\overline{\mathsf{cr}}(G) \geq n$。

请参阅Richter和Salazar的交叉数字调查作为参考。因此，如果在有界交叉数的图上存在Fáry定理的变体，则应将其约束为$\mathsf{cr}(G) \leq 3$。

举一个小例子 $\overline{\mathsf{cr}}(G) \neq \mathsf{cr}(G)$，考虑在8个顶点上的完整图形。它有$\mathsf{cr}(K_8) = 18$ 和 $\overline{\mathsf{cr}}(K_8) = 19$。