阈值函数的下限

在布尔函数的决策树复杂度中，众所周知的下界方法是找到一个代表该函数的（近似）多项式。Paturi用表示为的数量来描述对称布尔（部分和全部）函数： $\Gamma$

定理（大小床）：设是任何非恒定对称函数，并且表示，当（即汉明权重就是）。的近似度（表示为为，其中 $f$ $f_k=f(x)$ $|x|=k$ $x$ $k$ $f$ $\widetilde{deg}(f)$ $\Theta(\sqrt{n(n-\Gamma(f))})$ $\Gamma(f)=\min\{|2k-n+1|:f_k\neq f_{k+1}\text{ and } 0\leq k\leq n-1\}$

现在让 $Thr_t(x)$ 为阈值函数，即如果。在本文中（参见第15页第8节）说。 $Thr_t(x)=1$ $x\geq t$ $\widetilde{deg}(f)=\sqrt{(t+1)(N-t+1)}$

注意，对于阈值函数，我们有 $\Gamma(Thr_t)=|2(t-1)-n+1|$ ，因为 $|x|=t-1$ 函数从0变为1。

如果我直接将Paturi定理应用于值 $\Gamma$ ，则不会获得其他论文中报告的阈值函数的下界。上面的的值 $\Gamma(Thr_t)$ 正确吗？我想念什么？

编辑：我还尝试计算阈值的量子对手下限。首先，让我们回顾一下定理。

定理（未加权量子对手）：令 $f$ 为布尔布尔函数，令 $A\subseteq f^{-1}(0)$ 和 $B\subseteq f^{-1}(1)$ 为（硬）输入的子集。令 $R\subseteq A\times B$ 为关系，并为每个设置。令分别表示关系中任何行和任何列中的1的最小数目，而分别表示关系中任何行和列中的1的最大数目。然后。 $R_i=\{(x,y)\in R : x_i\neq y_i\}$ $1\leq i \leq n$ $m,m'$ $R$ $\ell,\ell'$ $R_i$ $Q_2(f)=\Omega(\sqrt{\frac{m m'}{\ell \ell'}})$

如果我将定义为所有1的数目大于或等于输入的集合，而所有1的数目严格小于的输入的集合，我（在一些代数之后）得到。 $B$ $t$ $A$ $t$ $\frac{mm'}{\ell\ell'}=n^2 \ln(\frac{n}{t}) \ln(\frac{n}{n-t})$

因此，我仍未获得其他论文中所报告的下限。现在，让我们比较一下这些界限。下图显示了在且没有平方根的情况下，Paturi定理界限（蓝色），对手界限（红色）和其他论文中报告的界限（绿色）之间的比较。 $n=200$

在此处输入图片说明

我的问题是：

1-我如何获得其他论文的报道？

2-从图中可以看出，所报告的下限（绿色）也下限为Paturi的下限和对手的下限。这不是在削弱“真实”的下限吗？例如，如果Paturi说对于所有对称函数都具有该界限，那么如何获得匹配的量子计数上限（）？这个上限不是违反Paturi定理吗？ $\sqrt{(t+1)(n-t+1)}$

— 马科斯·维拉格拉
source

您在的计算中缺少绝对值更改而言，这似乎太小了）。

Γ (T h r_{t})

$\Gamma(Thr_t)$

— 哈特穆特·克拉克

我认为您是对的，这是绝对值的近似值获得论文中提到的学位。函数的图让我假设:)

Γ (T h r_{t}) = | 2 (t - 1) - n + 1 |

$\Gamma(Thr_t)=|2(t-1)-n+1|$

— Marc Bury

是的，这似乎是一个近似值（这是情节wolframalpha.com/input/…）。并且它的下界。如果是这样，那为什么还要这么做呢？为什么不仅仅应用Paturi的结果下界呢？

Γ (T h r_{t})

$\Gamma(Thr_t)$

— Marcos Villagra

我想他们想避免绝对值函数。它们获得了更简单的函数形式，并且避免了任何计算的个案分析。我对他们如何从原始函数中获得这种近似值感兴趣？

— 马克·伯里

直到一个常数都是一样的。

— Kristoffer Arnsfelt Hansen 2011年

我不知道如何从原始边界获取或看到的边界但这是证明此边界在一个恒定因子上渐近相等的证明： $\sqrt{(t+1)(n-t+1)}$ $\sqrt{n(n-\vert (2(t-1) -n+1 \vert )}$

首先看到（我排除因为阈值函数始终为） $t = 0$ $1$

n (n - | (2 (t - 1) - n + 1 |) = {\begin{cases} n (2 t - 1) & 1 \leq t \leq n / 2 + 1 / 2 \\ n (2 n - 2 t + 1) & n / 2 + 1 / 2 \leq t \leq n - 1 \end{cases}

$n(n-\vert (2(t-1) -n+1 \vert) = \left\lbrace \begin{array}{ll} n(2t-1) & 1 \leq t \leq n/2+1/2\\ n(2n-2t+1) & n/2+1/2 \leq t \leq n-1 \end{array} \right.$

定义，和。 $f_1(t) = n(2t-1)$ $f_2(t) = n(2n-2t+1)$ $g(t) = (t+1)(n-t+1)$

现在你有（根据计算最大值定义intervalls内）的级分的，，和。您可以借助图（具有足够大的）通过微积分或逼近来做到这一点： $t$ $f_1(t)/g(t)$ $f_2(t)/g(t)$ $g(t)/f_1(t)$ $g(t)/f_2(t)$ $n$

$f_1(t)/g(t) \leq f_1(n/2+1/2)/g(n/2+1/2) \leq \dfrac{n^2}{n^2/4} = 4$

$f_2(t)/g(t) \leq f_2(n/2+1/2)/g(n/2+1/2) \leq \dfrac{n^2}{n^2/4} = 4$

$g(t)/f_1(t) \leq g(1)/f_1(1) = \dfrac{2n}{n} = 2$

$g(t)/f_2(t) \leq g(n-1)/f_2(n-1) = \dfrac{n/2}{n/3} \leq 3/2$

这给你以及想要的结果

n (n - | 2 (t - 1) - n - 1 |) = Θ ((t + 1) (n - t + 1))

$n(n-\vert 2(t-1)-n-1\vert) = \Theta((t+1)(n-t+1))$

\sqrt{n (n - | 2 (t - 1) - n - 1 |)} = Θ (\sqrt{(t + 1) (n - t + 1)}) .

$\sqrt{n(n-\vert 2(t-1)-n-1 \vert)} = \Theta(\sqrt{(t+1)(n-t+1)}).$

有没有更简单的方法来查看/获得此结果？

— 马克·伯里
source

是的，我认为您是对的。我的印象是，由于诸如量子计算等结果，原始作者对这一下界有所了解。在量子算术中，我们有一个的上限，通过应用Paturi定理和对手的界限，他们证明了您刚才在这里显示的内容。

\sqrt{(t + 1) (n - t + 1)}

$\sqrt{(t+1)(n-t+1)}$

— Marcos Villagra'3

感谢您的努力！！我认为这就是答案。现在，我更加确信，也许这只是获得此结果的唯一方法。

— Marcos Villagra'3