估计VC维

对以下问题了解多少？

给定集合的功能，找到最大的子集合受约束VC-尺寸对于某个整数。 $C$ $f:\{0,1\}^n\rightarrow\{0,1\}$ $S \subseteq C$ $(S) \leq k$ $k$

是否有针对该问题的近似算法或硬度结果？

— 亚伦·罗斯
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函数似乎在最大化| S |中没有任何作用。

— Suresh Venkat

函数的选择决定了S的VC维。问题是要找到尽可能大的一类函数，这要受VC维约束。

— 亚伦·罗斯

我知道了。如此翻译为“几何土地”，您将获得范围的集合（f充当特征函数），并且需要最大的有界VC维子集。

— Suresh Venkat

回答问题的另一个问题是：C是如何表示的？我们知道，根据绍尔引理，

的最大可能大小为

，并且即使在

编写一个函数也需要

位。

S

$S$

O (2^{n k})

$O(2^{nk})$

C

$C$

n

$n$

— Suresh Venkat

对。我对任何代表性制度的结果都感兴趣。您可以将

表示为

矩阵，在这种情况下运行时间

将是``有效的''（尽管不是

时间，这是详尽检查

点的所有集合是否被破坏所需的时间）。如果仅对

的函数进行黑盒查询访问就可能获得任何算法结果，那就更好了。

C

$C$

2^{n} \times | C |

$2^n\times |C|$

2^{n} \times | C |

$2^n\times |C|$

2^{n \times k}

$2^{n\times k}$

k

$k$

C

$C$

— 亚伦·罗斯

Answers:

编辑：原始问题是当时很难近似，其中表示集合数。 $n^{1-\epsilon}$ $k=1$ $n$

超图的对偶是通过将顶点与边缘交换并保留入射角而获得的。这是比较容易的时候，我们注意到，一个超图具有VC-1维当且仅当它的双交自由（让所有人都理解这个问题的，在至少一个为空）。 $P, Q$ $A$ $P \cap Q, P \backslash Q, Q \backslash P, (P \cup Q)^c$

通过对偶的原始问题（）相当于，在给定超图，查找一个最大尺寸与横自由。 $k=1$ $(V, \mathcal{S})$ $U \subseteq V$ $(U, \{S \cap U \mid S \in \mathcal{S}\})$

实际上，即使（所有集合都具有尺寸2 ），这个（对偶）问题也非常困难：然后它是一个图，我们正在寻找一个最大尺寸的顶点尺寸，其诱导子图不包含任何两边路径（不难发现，这是产生交叉对的唯一方法（假设图形至少具有4个顶点）。但是，这个属性是遗传和平凡的，因此，我们可以用飞鸽和高根的结果显示硬度。 $\mathcal{S}$

原始回复

$k=1$ $S$ $S$ $n^{1-\epsilon}$ $\Theta(n)$

$A$ $P, Q$ $A$ $P \cap Q, P \backslash Q, Q \backslash P, (P \cup Q)^c$

$G=(V, E)$ $H=(X, S)$ $X = V \uplus E \uplus \{0\}$ $0$ $v$ $G$ $T_v$ $S$

{v} \cup {e ∣ e is an edge incident to v} .

$\{v\} \cup \{e \mid e \textrm{ is an edge incident to }v\}.$

$\{T_v\}_{v \in U}$ $U$ $G$

但是对于原始（主要）问题，似乎还需要更多思考……看起来很有趣！

— 达韦阿普
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一些相关的相关工作：估计表示中的VC维本身（更不用说找到一个带有有限VC维的大子集合）是LOGNP完全的（LOGNP是NP，限于不确定性的log n位）。当范围空间的表示更加紧凑时，还有一些有关估算和逼近VC维的相关工作（另请参见其中的参考）

— 苏雷什·文卡特（Suresh Venkat）
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