NP中存在问题，但平均P / poly中没有问题

该卡普-立顿Theoem指出，如果，然后合拢为。因此，假设与之间存在分隔，则没有任何问题将属于。 $\mathsf{NP} \subset \mathsf{P/poly}$ $\mathsf{PH}$ $\mathsf{\Sigma^P_2}$ $\mathsf{\Sigma^P_2}$ $\mathsf{\Sigma^P_3}$ $\mathsf{NP}$ $\mathsf{P/poly}$

我对以下问题感兴趣：

假设不会崩溃，或者假设在结构复杂性上有任何其他合理的假设，那么很难证明平均水平的问题不在（如果有）？ $\mathsf{PH}$ $\mathsf{NP}$ $\mathsf{Average\mbox{-}P/poly}$

的定义可以发现平均情况和最坏情况的复杂性间的关系。由于刚用于指出我实际上需要使用代替。 $\mathsf{Average\mbox{-}P/poly}$ $\mathsf{Average\mbox{-}P/poly}$ $\mathsf{P/poly}$

我认为有诸如（的决定版本）问题FACTORING或DLOG被推测为位于，但猜想是没有证明基于之间的分离复杂度类别。（如果我错了，请纠正我。） $\mathsf{NP} - \mathsf{Average\mbox{-}P/poly}$

— 道斯蒂女士
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（1）我不认为已知多项式层次结构不会崩溃的假设并不意味着NP中存在平均上的难题。Arora和Barak的第18.4节指出：“ […]即使我们知道如果P = NP，则多项式层次结构PH会崩溃为P […]，对于平均用例复杂度我们没有类似的结果。”

— Tsuyoshi伊藤

（2）问题中的P / poly是通常情况下最复杂的情况吗，还是您在考虑平均情况？如果是最坏的情况，那么您既需要DistP≠DistNP又需要NP⊈P/ poly来解决此问题，如果这些问题成立，则每个DistNP完全问题都可以满足要求，因为必须要解决DistNP完全问题如果我们丢弃输入分布，NP完全。

— 伊藤刚（Tsuyoshi Ito）

@Tsuyoshi：非常感谢。您确实有关于最坏情况下的P / poly与平均情况下的P / poly的观点。再考虑一下（关于原始问题），我认为我必须将P / poly解释为平均情况下的类。

— MS Dousti 2011年

我阅读了修订版3。从逻辑上讲，只有当DistNP NP Average-P / poly时，才存在此问题。并且，如果DistNP⊈平均P / poly，那么每个DistNP完全问题都在平均P / poly之外，因为平均P / poly在减少时（在分配问题之间）关闭。但是也许您在一个更强的假设下要求一个更自然的问题。

— 伊藤刚（Tsuyoshi Ito）

@Tsuyoshi：谢谢。您能否将评论变成答案，以便我接受？

— MS Dousti

这是我对这个问题的两个评论的略微改进。

为了简单起见，让我们将注意力集中在DistNP（又称NP，P可计算）中的分布问题上。然后，您正在寻找DistNP∖Average-P / poly中的问题。从逻辑上讲，当且仅当DistNP⊈Average-P / poly时，存在此问题。而且，如果DistNP⊈Average-P / poly，那么每个DistNP完全问题都在Average-P / poly之外，因为Average-P / poly在平均情况下减少了。

（考虑使用更大的SampNP类（又名（NP，P可简化的））而不是DistNP不会改变这种情况，因为当且仅当SampNP⊆Average-P / poly时，DistNP⊆Average-P / poly。这种等效是直接的Impagliazzo和Levin [IL90]得出的结果的推论是，SampNP中的每个分布问题都可以平均分解为DistNP中的某些分布问题。）

我不知道哪个自然假设意味着DistNP⊈平均P / poly。根据Arora和Barak [AB09]第18.4节的规定，多项式层次结构不会崩溃的假设并不意味着DistNP⊈Average-P的结果甚至更弱：[[…]即使我们知道如果P = NP ，则多项式层次结构PH崩溃为P […]，对于平均情况复杂度我们没有类似的结果。”

参考文献

[AB09] Sanjeev Arora和Boaz Barak。 计算复杂性：一种现代方法，剑桥大学出版社，2009年。

[IL90] Russell Impagliazzo和Leonid A. Levin。没有比随机挑选均匀更好的方法来生成硬NP实例。在计算机科学基础的第31届研讨会，812-821，1990年10月 http://dx.doi.org/10.1109/FSCS.1990.89604

— 伊藤刚
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