数学写作证明助手

我想使用一些证明助手来编写数学证明。一切都将使用一阶逻辑（具有相等性）和自然推导来编写。背景是集合论（ZF）。例如，我怎么写以下证明？

公理：$\forall x\forall y(x=y\leftrightarrow\forall z(z\in x\leftrightarrow z\in y))$

定理：$\forall x\forall y(\forall z(z\notin x)\land\forall z(z\notin y)\rightarrow x=y)$

也就是说，空集是唯一的。

使用纸和笔完成此任务对我来说是微不足道的，但是我真正需要的是一个软件来帮助我检查正确性的证明。

谢谢。

Coq和Isabelle都可以做到这一点。

[Coq]这是一篇讨论如何在CoIC中基于ZIC编码ZFC的论文。

本杰明·沃纳（Benjamin Werner）：“类型中的集合”，“集合中的类型”（1997）。 http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.55.1709

[伊莎贝尔] ZF有一个图书馆。

http://www.cl.cam.ac.uk/research/hvg/Isabelle/dist/library/ZF/index.html

从对Kaveh的建议的评论中移开

首先，您需要选择一个证明助手。Coq是我使用的，但是还有很多其他的。Coq基于高阶逻辑（所谓的归纳微积分）。其他证明助手基于一阶逻辑，因此可能更适合您的需求（对上述注释取模）。

然后，您需要致力于学习证明助手。链接的文档是使用Coq入门的教程。成为一名Coq专家需要多年的奉献精神和实践，但是简单的定理可以在一个下午得到证明。学习Coq或其他任何证明助手的关键是做证明，例如链接论文中的证明。仅仅阅读论文将无济于事，因为不能在纸面上很好地传达与证明助手互动的全部经验。

几天之内，您应该就能对上述简单定理进行编码，并对其进行证明。不要期望我们会为您做这件事。这样您将一无所获。

当您成功证明这些定理时，请随时在此处发布答案，并可能对您的经历发表一些评论。

你准备好接受挑战了吗？

有许多使用证明助手Mizar撰写的数学文章：http : //mizar.org/fm/

戴夫·克拉克（Dave Clarke）建议了Coq，但实际上伊莎贝尔（Isabelle）似乎是一个更好的主意，因为它具有针对ZF的库。伊莎贝尔（Isabelle）也非常成熟，其中包括各种战术和扩展。

我个人没有使用过Mizar，但它也可能很好。

我该如何写以下证明？

在Isabelle / ZF中，您可以编写如下内容

theory csthquestion imports Main

begin

theorem empty_unique:
shows "\<forall> x.\<forall>y.(\<forall>z. (z\<notin>x)) \<and> (\<forall>z.(z\<notin>y)) \<longrightarrow> x=y"
    by auto

end

如您所见，Isabelle自动证明了这一点。当然，如果您确实需要，可以写出更详细的证明。

这个定理是我的DC Proof 2.0软件随附的教程中的一个有效示例（请参见示例11）。从我的网站http://www.dcproof.com免费下载。