当频率相似时，计算最佳无前缀码的复杂度是多少？

众所周知，有一种最坏情况的最优算法来计算时间为的霍夫曼码$\theta(n\lg n)$。通过两种正交方式对此进行了改进：

1. 如果不同频率的集合较小（例如，大小为），则可以更快地计算出最佳的无前缀代码：使用[Munro and Spira，1976]对频率进行排序，以便利用σ的较小值，并计算Huffman频率排序后的线性时间中的树。这产生在溶液Ö （Ñ LG σ $\sigma$$\sigma$$O(n\lg\sigma)$

2. 有一种算法可以计算等效代码，其中k是不同代码字长度的数量 [Belal and Elmasry]。$O(n 16^k)$$k$

$O(n\min\{16^k,\lg\sigma\})$

THE源于2006年STACS似乎是错的$O(nk)$，Elmasry在2010年出版的arXiv（http://arxiv.org/abs/cs/0509015）版本宣布-上无序的输入操作，并- 对排序的输入执行操作$O(16^kn)$$O(9^k \log^{2k-1} n)$

1. 我看到了一个类似于计算平面凸包的复杂性的类比，其中（基于排序，作为霍夫曼代码的算法）和（礼物在被Kirkpatrick和Seidel的算法所取代（后来证明是实例最优的，其复杂度为）。对于无前缀代码，与表示算法可能具有复杂度，甚至，其中是长度的代码字数$O(n\lg n)$$O(n\lg n)$$O(nh)$$O(n\lg h)$$O(nH(n_1,\ldots,n_k)$$O(n\lg n)$$O(nk)$$O(n\lg k)$$O(nH(n_1,\ldots,n_k)$$n_i$$i$使用覆盖的凸包的边缘的类比，指向覆盖符号的代码长度。$n_i$$n_i$

2. 一个简单的示例显示，对频率的（四舍五入）对数值进行排序（在字RAM模型中以线性时间排序）并不能在线性时间内给出最佳的无前缀代码： $\theta(\lg n)$

   • 对于，和$n=3$$f_1=1/2-\varepsilon$$f_2=f_3=1/4+\varepsilon$
   • $\lceil\lg f_i\rceil=2$因此日志排序不会更改顺序
   • 然而，三分之二的代码比最佳代码要花费位。$n/4$

3. 另一个有趣的问题是当大时降低复杂度，即所有代码都有不同的长度：$k$

   • 例如，当，频率都是不同的对数值。在这种情况下，可以在字RAM中以线性时间对频率进行排序，并以线性时间计算霍夫曼代码（因为对它们的对数值进行排序就足以对值进行排序），从而得出整体线性时间，比Belal和Elmasry的算法中的好得多。$k=n$$\theta(\lg n)$$n^2$

花了几年时间（五年！），但这是该问题的部分答案：

http://arxiv.org/abs/1602.00023

带有部分排序的最佳前缀免费代码JérémyBarbay（2016年1月29日提交）

我们描述了一种算法，该算法在O（n（1 +lgα））⊆O（nlgn）内计算n个未排序的正权重的最优无前缀代码，其中交变α∈[1..n-1]测量计算所需的排序。在代数决策树计算模型中，在最坏的情况下，对于大小为n且交替为α的所有实例，这种渐近复杂性都处于最优常数之内。这样的结果通过仅组合van Leeuwen算法来计算最优前缀来优化最坏情况下Θ（nlgn）的复杂度，而在同一计算模型中大小为n的实例（自1952年以来的压缩和编码里程碑）从排序的权重中释放代码（自1976年以来为人所知），并使用Deferred Data Structures对其进行查询来对多集进行部分排序（自1988年以来为人所知）。