证明Coq中的证明无关紧要？

有没有办法证明Coq中的以下定理？

Theorem bool_pirrel : forall (b : bool) (p1 p2 : b = true), p1 = p2.

编辑：尝试简要说明“什么证明无关紧要”（如果我错了或不正确，请纠正我）

基本思想是，在命题世界（或PropCoq中的排序）中，您（并且应该）真正关心的是命题的可证明性，而不是它的证明，可能有很多（或没有）。如果您有多个证明，从可证明性的角度来看，它们在证明相同命题的意义上是相等的。因此，它们的区别是无关紧要的。这不同于来看，你真正关心的两个词的区别，计算点例如，基本上，你不想让两个居民bool类型（或Set在勒柯克的话），即true和false相等。但是，如果将它们放入Prop，它们将被平等对待。

— 天
source

有趣的。我相信您会在几分钟之内在Coq邮件列表中得到答复。（如果需要，请确保在此处发布回复。）

— Dave Clarke

对于那些好奇您的问题但又不熟悉Coq的人，您是否可以添加一两个句子来解释该定理在英语中的含义？（也许什么“证明无关紧要”是关于什么的？）

— Joshua Grochow 2011年

@约书亚，我不足以详细解释它，因为它对我来说还是新事物，这也是为什么它困扰了我很多时间的原因。但是无论如何，这是我的尝试（请参阅问题部分）。

— 天

@约书亚（IIRC），在构造数学中，像

这样的蕴涵证明是

的证明转换为

的证明的函数/过程/算法/构造，并且如果得到的证明不成立，则该构造也不是证明。

不依赖于为

给出哪个证明。

A \to B

$A \rightarrow B$

A

$A$

B

$B$

B

$B$

A

$A$

— 卡夫

Coq背后的理论通常并不暗示证明无关紧要。甚至不暗示证明与平等无关。它相当于施特莱歇尔的公理ķ。两者都可以添加为公理。

在某些情况下，推理证明对象很有用，而证明无关紧要使得这几乎不可能。可以说，这些发展应该将所有其结构问题重塑的对象Set，但是有了基本的Coq理论，可能性就有了。

证明无关紧要的一个重要子情况始终存在。Streicher的公理K始终在可判定域上成立，即，可判定集上的相等证明是唯一的。通用证明在Eqdep_decCoq标准库的模块中。这是推论的定理（我在这里的证明不一定是最优雅的）：

Require Bool.
Require Eqdep_dec.
Theorem bool_pirrel : forall (b : bool) (p1 p2 : b = true), p1 = p2.
Proof.
  intros; apply Eqdep_dec.eq_proofs_unicity; intros.
  destruct (Bool.bool_dec x y); tauto.
Qed.

对于这种特殊情况，这是一个直接证明（受中的一般证明启发Eqdep_dec.v）。首先，定义我们定义的规范证明true=b（与Coq中一样，首先拥有常量会更容易）。然后，我们表明，任何证据true=b必须是refl_equal true。

Let nu b (p:true = b) : true = b :=
  match Bool.bool_dec true b with
    | left eqxy => eqxy
    | right neqxy => False_ind _ (neqxy p)
  end.
Lemma bool_pcanonical : forall (b : bool) (p : true = b), p = nu b p.
Proof.
  intros. case p. destruct b.
  unfold nu; simpl. reflexivity.
  discriminate p.
Qed.

如果将经典逻辑添加到Coq中，则会得到不相关的证明。直观地讲，经典逻辑为您提供了一个针对命题的决策预言，对于公理K来说已经足够了。Coq标准库模块中有一个证明Classical_Prop。

— 吉尔斯“别再邪恶了”
source