独立集的LP松弛

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我尝试了以下最大独立集的LP松弛

max \sum_{i} x_{i}

$\max \sum_i x_i$

s.t. x_{i} + x_{j} \leq 1 \forall (i, j) \in E

$\text{s.t.}\ x_i+x_j\le 1\ \forall (i,j)\in E$

x_{i} \geq 0

$x_i\ge 0$

对于我尝试的每个三次非二部图，每个变量得到 $1/2$ 。

对于所有连通的三次非二分图是否成立？
是否有LP松弛方法更适合此类图？

更新03/05：

这是内森（Nathan）提出的基于群体的LP放松的结果

我在这里总结了实验，有趣的是，似乎有很多非二分图，其中最简单的LP松弛是不可或缺的。

graph-theory co.combinatorics linear-programming

— 雅罗斯拉夫·布拉托夫（Yaroslav Bulatov）
source

解当然不是唯一的。在三次二部图中，您可以有一个最优解，其中一部分，另一部分。

x_{i} = 1 / 2

$x_i = 1/2$

x_{i} = 1

$x_i = 1$

x_{i} = 0

$x_i = 0$

— Jukka Suomela 2011年

1

抱歉，我错过了重要部分，我只考虑了非二分立方图。我尝试过的每个二分立方图都有一个积分解

— Yaroslav Bulatov

如果要避免非唯一解决方案，还需要添加“已连接”。

— Jukka Suomela 2011年

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（1）您忘记写非负约束。（2）对于二部图，此LP松弛的最佳值始终等于独立集的最大大小。这是柯尼格定理的直接推论。

— 伊藤刚（Tsuyoshi Ito）

2

@Yaroslav：附带问题：您如何绘制这些图形？

— 蒂姆（Tim）

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非二分连通三次图具有唯一的最优解 ; 在二元立方图中，您有一个积分最优解。 $x_i = 1/2$

证明：在三次图中，如果您对所有约束求和，则您有，因此最佳值为。 $3n/2$ $x_i + x_j \le 1$ $\sum_i 3 x_i \le 3n/2$ $n/2$

所有的解都是可行的，因此也是最优的。 $x_i = 1/2$ $i$

在二分立方图中，每个部分都有一半的节点，因此在一个部分中求解也是最佳的。 $x_i = 1$

任何最优解都必须严格，也就是说，我们必须具有，因此每个边。因此，如果您有一个奇数周期，则必须为周期中的每个节点选择。然后，如果连接了图，则此选择会传播到各处。 $\sum_i 3 x_i = 3n/2$ $x_i + x_j = 1$ $\{i,j\}$ $x_i = 1/2$

— Jukka Suomela
source

2

正如我在对该问题的评论中所写的那样，您只需要两手即可证明存在整体最优解（但这需要与您的证明不同）。

— 伊藤刚（Tsuyoshi Ito）

@Tsuyoshi：是的，牢记König定理。例如，结合以上观察结果，将表明任何二分立方图都具有1分解（即，可以将其划分为三个完美匹配）。当然，这是证明此结果的“错误”方法，但我认为它很好地证明了柯尼格定理的力量–如果您只记得柯尼格定理，那么图论中有很多经典结果，您可以轻松地重新发明。

— Jukka Suomela 2011年

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对于所有图，此LP都是半整数，即，存在最优解，以使每个变量都位于{0,1 / 2,1}中。它仅来自Nemhauser和Trotter的一个定理。当然，对于补数问题的LP（顶点覆盖），得出相同的半积分结论。当图为二部图时，解决方案为整数。它仅遵循最大流最小割定理或与该LP的极点解一起使用。另外，1/2个边形成一个奇数循环。

当然，此LP不能解决IS问题。添加集团约束或SDP是一种更好的方法。

顶点填充：结构属性和算法GL Nemhauser和Trotter- Math。程序。，1975

— 莫希特·辛格（Mohit Singh）
source

正确，另请参阅本文的定理5.6，这是一个非常简单的算法，可以有效地找到半积分解。

— Jukka Suomela 2011年

具有Clique约束的LP从上面的设置中解决了大约50％以上的图....在哪里可以找到SDP公式？

— Yaroslav Bulatov

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Sergiy Butenko于2003年发表的博士学位论文回顾了MIS的其他一些LP松弛，以及一些二次松弛。

— 苏雷什·文卡特（Suresh Venkat）
source

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还有另一种方法来获得“最大独立集的松弛版本”。代替具有“对于每个边缘，总和至多为1”作为约束，该约束为“对于每个完整的子图，边缘至多为1”。这意味着：对于每个边，每个三角形，每个，依此类推。 $K_4$

这称为分数独立设置数。您可以在此处找到一些信息：http : //en.wikipedia.org/wiki/Fractional_coloring 或Daniel Ullman和Edward Scheinerman的书《分数图论》（http://www.ams.jhu.edu/~ers / fgt /）。

实际上，即使所有变量都是连续的，此公式也是NP-Hard难以计算的->集团的数量是指数的，并且难以计算...。但是您可以自由地列举一些特殊集团，例如边缘（您刚做过的），边缘+三角形或所有集团。毕竟，该值只能成为实整数（*）:-)的“更具代表性”。 $K_k$

内森

（*）就是说，理论上，您在代表所有集团的LP中的最佳结果与最佳独立集之间存在任意大的差异

— 内森·科恩（Nathann Cohen）
source

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这种方法的问题之一是，如果您有一个无二分立方的无三角形图（并且有很多……），则公式与问题中的公式完全相同，并且我们的公式完全相同坏消息。更笼统地说，我认为我们总是可以构建一个图，其中所有节点都在一个 -clique中，而没有 -clique，并且证明对于所有，是该的唯一最优解。 LP。

k

$k$

(k + 1)

$(k+1)$

x_{i} = 1 / k

$x_i = 1/k$

i

$i$

— Jukka Suomela 2011年

有趣的是，这似乎与弦图中的IndependentSet的难易程度有关

— Yaroslav Bulatov

我做了一些实验，这LP松弛的解决方案总是不可或缺的弦图

— 雅罗斯拉夫Bulatov

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@YaroslavBulatov有您进行观察的原因。当且仅当图是完美的时，集团不等式和非负边界提供独立集的凸包。弦图非常完美。

— 奥斯汀·布坎南