是否意味着

据我了解，几何复杂度理论程序试图通过证明复数值矩阵的维数比行列式更难计算来分离$VP \neq VNP$

浏览GCT论文后，我有一个问题：这会立即暗示，还是仅仅是朝着这个目标迈出的重要一步？$P \neq NP$

最简洁的答案是不'。没有这样的含义是已知的。主要障碍有两个：从算术电路复杂度到布尔复杂度（VP≠VNP表示P / poly≠NP / poly），然后从布尔电路复杂度（P / poly≠NP / poly）到均匀复杂度（P≠NP） ）。这些步骤都不是已知的。我相信P / poly≠NP / poly意味着VP≠VNP。

假设广义黎曼假设（GRH），在与多项式层次结构崩溃（P H）之间已知以下相当强的联系：$VP= VNP$${\rm PH}$

1. 如果$VP= VNP\,$ （在任何字段上），则多项式层次结构崩溃到第二级；
2. 如果$VP=VNP\,$$0$$\rm{NC}^3/{\rm poly}={\rm P}/{\rm poly} = {\rm PH}/{\rm poly}$
3. 如果V P = V N $VP=VNP\,$$p$$\rm{NC}^2/{\rm poly}={\rm P}/{\rm poly} = {\rm PH}/{\rm poly}$

这些是来自以下方面的结果：彼得·伯吉瑟（Peter Burgisser），“理论库克与瓦朗特的假设 ”。比较 Sci。，235：71-88，2000。

另请参见：Burgisser，“ 代数复杂性理论的完整性和约简 ”，1998年。

$P \ne NP$

VP和VNP专注于度数由多项式限制的代数函数。请注意，使用多项式大小的代数电路可以很容易地计算指数级的代数函数。

$d$$O(\log d \log n)$

$VP$$NC^2$$VP \ne VNP$$NC^2 \ne \# P$$P = NP$

免责声明：我现在无法访问该论文，并且我不记得简化是在任何领域还是在有限领域都有效。

1 LG Valiant，S.Skyum，S.Berkowitz，C.Rackoff。用很少的处理器快速地多项式并行计算。SIAM J.计算。见12（4），641-644，1983。