DTIME层次定理中log f的对正

如果我们看一下DTIME层次定理，由于通用机器模拟确定性Turing Machine的开销，我们得到了一个日志：

$DTIME(\frac{f}{\log f}) \subsetneq DTIME(f)$

对于DSPACE的NTIME，我们没有这种开销。通过考虑模拟器之间的差异，从证明的细节中得出一个基本理由。

我的问题如下：在不考虑DTIME层次定理证明的细节的情况下，是否有证明该对数成立的证据，或者仅是证明的结果，可以合理地假设，如果 $f = o(g)$ 然后

$DTIME(f) \subsetneq DTIME(g)$

在我看来，考虑到模拟解释是一个很好的理由，应该通过证明如果我们有更好的结果，那么我们可以创建一个更好的模拟，就可以证明它本身是合理的。

cc.complexity-theory universal-computation time-hierarchy

我认为您在上一段中写的比其相反的可能性要小。即，我认为我们目前不能排除通过模拟以外的方法可以证明更强有力的陈述的可能性。另一方面，我们也许可以通过建立一个相对的世界而排除更强的陈述可以通过模拟来证明的可能性，在相对世界中，更强的陈述失败了。

— 伊藤刚（Tsuyoshi Ito）

据我了解，在确定性时间层次定理中减少

Ω (\log n)

$\Omega(\log n)$ 仿真开销将是一个突破性的结果。一方面，几个结果可以立即得到加强。

— 安德拉斯·萨拉蒙

这有点花哨，但是除非您对f和g有其他限制（标准的限制是f和g是时间可构造的），否则存在f和g使得f = o（g）和DTIME（f） = DTIME（g）。要看到这一点，只需考虑所有函数x ^ i的不可数集合，其中i实为0 <i <=1。如果所有此类函数对的时间层次定理都是正确的，则我们将得到不可数的集合。语言，所有这些都可以由图灵机决定。这与图灵机的数量是可数的事实相矛盾。

— Abel Molina

@abel我当然假定f和g是时间可构造的，就像在当前时间层次定理中一样。

— Ludovic Patey

是的，目前的证据是有道理的，但是对这个问题/问题的完整回答将证明它是必要的，而不仅仅是足够的。即，正如上面的AS评论所述，更严格的界限是一个开放的问题。在Hopcroft / ullman 1976中，他们指出log（n）因子是由于将多带TM简化为2带TM所致，并且也有相关证明可证明这种降低。（但是，与这个问题一起，我一直想知道，对于基于单磁带TM而不是允许多磁带TM的复杂性理论，层次结构的外观看起来会有所不同。）

— vzn 2012年

Answers:

时间层次定理是我的文凭项目的主题，也许您想查看有关我的问题下界和班级分离的评论。

回顾这个问题以及它与您所要询问的内容之间的关系，我有一个想法可能表明，定理证明所需的多磁带到单磁带TM仿真开销无法改善。因此，如果我们希望改善这一结果，则需要另一种方法。

编辑：此证明不正确，请参阅下面的注释以了解确切原因。我目前正在编辑答案以反映这一点。

设为语言。 $A$ $\{ 0^{k}1^{k}| k \geq 0 \}$

在单台磁带机上，有一个算法（您可以在Sipser的书“计算理论简介”的第7.1.2章中找到该算法的详细信息。在同一参考书中，您可以看到一种语言是O（N \ log n）的，当且仅当它是有规律的。卡韦赫还提供原文件供这种说法在上面链接的问题。 $O(n \log n)$

在我的问题的评论中，Ryan Williams使用2-tape TM 演示了针对同一问题的算法。 $O(n)$

现在假定存在一种将多带TM模拟为运行时间为的单个磁带TM的技术，其中是模拟的TM的运行时间。通过将其应用于Ryan所示的机器，我们将获得一个运行在磁带TM 。因此，是正则的，这是一个矛盾。因此，我们得出结论，当用单个磁带机模拟多磁带机时，的开销是最好的。 $o( T(n) \log T(n) )$ $T(n)$ $o( n \log n)$ $A$ $\log T(n)$

我意识到这是一个强有力的声明，因此我的解释可能是错误的。

即使存在可以改善此结果的技术，我相信也无法将结果与或相匹配。我的直觉来自以下事实： $NTIME$ $SPACE$

有一个众所周知的结果，它声明。在的假设下，我相信对于任何，该结果都将改进为，因此，非常小的非确定性任何确定性类都强大得多。因此，考虑到资源的不确定性时间有多强大，我希望需要更多的确定性时间才能使TM更加强大，以补偿不确定性的力量。 $DTIME(n) \neq NTIME(n)$ $P \neq NP$ $DTIME(n^{k}) \neq NTIME(n)$ $k$

— Chazisop
source

在单带机上模拟多带图灵机需要花费二次时间。回文的语言表明这是必要的：回文可以在两卷磁带机上以时间识别，但是在单卷磁带机上需要时间

O (n)

$O(n)$

Ω (n^{2})

$\Omega(n^2)$

— Luca Trevisan

Luca当然是正确的（由于声明的力量，我预料会犯错误）。我的错：我匆忙将标准单磁带TM与单工作磁带（具有不同的非写输入磁带，也许还有单独的输出磁带）混淆了。当我意识到该错误时，我尝试查看规律性是否适用于该模型，但是表明这是不正确的。我正在编辑答案以反映这一事实，我希望问问者@Monoid在直觉部分接受了它。

o (n \log n)

$o(n \log n)$

P A L I N D R O M E S

$PALINDROMES$

— chazisop 2011年

Luca提到的示例是针对时间为。这种特殊情况通常令人不安，因为在这种小类中单磁带机的行为不稳健。因此，如果时间为，则不是障碍。有趣的是，关于的层次定理的强形式的证明不使用模拟，而是使用直接参数（参见Hartmanis 1968）。

o (n^{2})

$o(n^2)$

Ω (n^{2})

$\Omega(n^2)$

o (n^{2})

$o(n^2)$

— 卡夫

对于n型磁带TM，Furer在1982年证明了类似于空间分层定理的紧密时间分层结果。不需要因子。 $\lg$

帖子中所述的时间层次定理的因子仅适用于单带TM。除非出于某种原因您非常致力于单磁带模型，否则关于层次结构定理的时空就没有区别。 $\lg$

使用单磁带TM定义时间复杂度类别有一些原因和理由，但是使用单磁带TM定义复杂度类别并不普遍，例如，参见Lance Fortnow和Rahul Santhanam [2007]，他们使用多磁带TM。

时间层次定理的原始参考文献是Hennie and Stearns [1966]。他们证明了两带式机器的定理。Odifreddi的“古典递归理论”引用了它们，Hartmanis [1968]则描述了一个与Sipser的书相似的证明。

但是，Hartmanis论文中关于单磁带TM的证明并没有简单地使用模拟。它区分了两种情况：1.运行时间为和2.运行时间为。 $\Omega(n^2)$ $o(n^2)$

对于第一种情况，它使用模拟，并且如果可以更有效地进行模拟，似乎可以摆脱因素。 $\lg$
对于第二种情况，本文直接给出了分离的语言，并且根本不使用模拟。这将使用单带TM的特殊属性，并具有次二次运行时间。

应当注意，时间为单磁带TM的鲁棒性不强，单磁带TM上存在二次下界（例如对于Palindroms），而双磁带TM可以在线性时间内解决此类问题。 $o(n^2)$

就像我在上面说的那样，除非您出于某种原因而致力于单磁带TM模型，否则即使时间是次二次的，也不会填补空白，时间层次定理应尽可能严格。

PS：如果我们使用的是多带TM，即该类中的图灵机可以固定，但是任意数量的带不适用菲勒的结果。

马丁·菲勒（MartinFürer），“ 严格的确定性时间层次结构 ”，1982年
Piergiorgio Odifreddi，“经典递归理论”，第1卷。II，1999（第84页）
Juris Hartmanis，“一卷式图灵机计算的计算复杂性 ”，1968年
FC Hennie和RE Stearns，“ 多带图灵机的两带仿真 ”，1966年
Lance Fortnow和Rahul Santhanam的论文“ 时间层次结构：调查 ”，2007年

— 卡韦
source

菲勒的结果不仅仅适用于所考虑的图灵机的磁带数量固定的情况，即，谈论类，是磁带数量。

D T I M E_{k} (f)

$DTIME_k(f)$

k

$k$

— MarkusBläser2013年

@Markus，是的，这是正确的，类似于单带情况。唯一的区别是磁带的数量不止一个，但仍是固定的，例如2个磁带。

— 卡韦

另请参见KrzysztofLoryś，“ 确定性TM的新时间层次结果 ”，1992年。另一个参考文献是岩间一雄，岩本中三，“ 改进了单磁带离线TM的时间和空间层次结构 ”，1998年，将对数因子提高到单磁带TM的日志日志。

— 卡夫

对于大于一的固定数量的磁带，对于时间可构造的，）。对数开销来自于磁带减少定理，在该定理中，任意数量的磁带都可以转换为两个磁带（甚至可以是单个磁带和一堆磁带，而且运动方向完全不明显）。 $\mathrm{Time}(o(f)) ⊊ \mathrm{Time}(O(f)$ $f$

如果磁带的数量不是固定的，那么我们真的没有一种技术来构造而不经过磁带归约定理。可以肯定的是，对于每一个， -tape机不能被模拟 -tape机，而对数开销。 $\mathrm{DTime}(g) ⊊ \mathrm{DTime}(f)$ $k$ $k+1$ $k$

但是，这并不意味着不能改进时间层次定理，也不意味着失败。 $\mathrm{DTime}(o(f)) ⊊ \mathrm{DTime}(O(f))$

实际上，我们已经有以下内容。

定理：对于每个和形式为（和有理；或）的每个，。 $ε>0$ $f$ $n^a (\log n)^b$ $a$ $b$ $a>1$ $a=1∧b≥0$ $\mathrm{DTime}(O(f /(\log f)^ε) ⊊ \mathrm{DTime}(O(f))$

证明： 如果可以在时间内确定具有决策算法的每种语言，则通过填充输入，每种语言都具有决策算法可以在时间（其中是固定的）中确定），因此对于每个常数，，与时间层次定理矛盾。 $O(f)$ $O(f / (\log f)^ε)$ $O(f(n) (\log f(n))^{kε})$ $O(f(n) \, (\log f(n))^{(k-1)ε})$ $k≥0$ $c≥0$ $\mathrm{DTime}(O(f(n) (\log f(n))^c)) = \mathrm{DTime}(O(f(n)))$

但是，该非构造性证明具有三个局限性：
*证明要求行为良好（不仅时间可构造，而且在某种意义上是连续的）。 *我们不知道的特定语言，但不知道的特定语言。对于足够大的，磁带图灵机的仿真不在，但我们还不能排除即使对于和，则此类 > BB（BB（1000）），其中BB是繁忙的海狸函数 *我们不知道该包含项是否可靠。 $f$
$\mathrm{DTime}(O(f))$ $\mathrm{DTime}(O(f/(\log f)^ε)$ $k$ $k$ $\mathrm{DTime}(O(f/(\log f)^ε)$ $ε=1$ $f(n)=n^2$ $k$
$\mathrm{DTime}(O(f/(\log f)^ε)$ 算法对于某些输入将失败，但是我们没有证明对于除有限输入大小以外的所有输入，对于某些输入它都会失败（尽管这非常令人惊讶）如果没有）。

— Dmytro Taranovsky
source

很棒的答案！！:)

— Michael Wehar