上限和下限的“正确”定义是什么？

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令是输入的问题在最坏情况下的运行时间。让我们把这个问题有点通过固定怪异的但的。 $f(n)$ $n$ $f(n) = n^2$ $n=2k$ $f(n) = n$ $n=2k+1$

那么，问题的下限是什么？据我了解，它只是的下限。但是我们知道表示存在常数，，因此对于所有，都是不正确的。因此，似乎我们只能说。但是通常，我们会称问题的下限为 $f(n)$ $f(n) = \Omega(n^2)$ $k$ $n_0$ $n > n_0$ $f(n) > kn^2$ $f(n) = \Omega(n)$ $\Omega(n^2)$ ，对？
假设 $g(n) = \Omega(n^2)$ ，这意味着存在常数 $k$ ， $n_0$ ，使得对于所有 $n > n_0$ ， $g(n) > kn^2$ 。我们还假设问题的运行时间为 $g(n)$ 。如果我们可以将所有素数这个问题都简化 $n$ 为另一个问题（具有相同的输入大小），可以说另一个问题的运行时间的下界为 $\Omega(n^2)$ ？

cc.complexity-theory time-complexity

— 魏宇
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这就是为什么数学家使用lim sup和lim inf的原因。

— Peter Shor

1

因此，我想我理解其中的区别。我认为邮政人员只会无限地了解Omega。但是，如果我想作一个明显的区分，除了扩展它之外，我还能使用其他任何符号吗？

— 魏宇

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lim sup \frac{g (n)}{n^{2}} \geq k

$\limsup \frac{g(n)}{n^2} \geq k$

k

$k$

g (n) \geq k n^{2}

$g(n) \geq k n^2$

lim inf \frac{g (n)}{n^{2}} \geq k

$\liminf \frac{g(n)}{n^2} \geq k$

g (n) \geq k n^{2}

$g(n) \geq k n^2$

n

$n$

$\$

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@Wei：对于大多数复杂性理论家来说（请参见下面的Lance），您的函数为θ（n ^ 2）；对于大多数算法学家（请参阅Knuth或CLRS），您的函数是Ο（n ^ 2）和Ω（n）。这两种表示法在其子社区中几乎是但不是完全标准。更糟的是，这两个子社区重叠很多！因此，如果使用的是哪种符号很重要，则必须明确说明使用的是哪种符号。（幸运的是，这几乎没有关系。）

— Jeffε11年

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@Jeffe。我相信您应该发表评论作为答案。

— chazisop 2011年

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的正确定义是存在某个，从而对于无限多的，。下界的无限定义经常处理您的问题，这也是我们在实践中如何使用它的方式。 $f(n)=\Omega(n^2)$ $k>0$ $n$ $f(n)\geq kn^2$

我在2005年对此发表了一篇文章。

有些教科书正确地定义了这个定义，有些则没有。

— 兰斯·福特诺
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克努特与不同意你：portal.acm.org/citation.cfm?id=1008329

— Jeffε

4

CLRS和Wikipedia也不同意您的意见。常为无限的定义是一个值得注意的替代方法，但似乎使用不广泛。

— 匿名

我认为这些定义都同意当设定例外的是测量0

— 卡特Tazio Schonwald

2

“无限频繁”定义的问题在于它们通常不排除“无限频繁”定义。因此，我们得出的可怕结果是，使用此定义但还有，其中和在某些情况下是严格的阶感。我真的不喜欢这个至少@Carter提出的措施0例外的建议不太可怕，而仍然允许比通常的命令更好的命令。

f (n) = Ω (n^{2})

$f(n)=\Omega(n^2)$

f (n) = o (n + 1)

$f(n)=o(n+1)$

Ω

$\Omega$

o

$o$

— 安德拉斯·萨拉蒙

2

@Jukka：不，我在这里滥用。正如您所暗示的，我必须更正我的论点以使用而不是。因此，让我在不使用或情况下重申实际的反对意见。在“无限频繁”的情况下，会有一个异常：，，而。因此，甚至都没有预订。

o

$o$

O

$O$

o

$o$

o

$o$

O

$O$

n = Ω (f (n))

$n = \Omega(f(n))$

f (n) = Ω (n^{2})

$f(n) = \Omega(n^2)$

n \neq Ω (n^{2})

$n \ne \Omega(n^2)$

Ω

$\Omega$

— 安德拉斯·萨拉蒙

4

使用Knuth的定义，您只能声明。如您所见，这不是直观的，而是在Vitányi和Meertens函数称为“野生”的情况下发生。他们提议定义 $f(n)\in\Omega(n)$

Ω (f (n)) = {g ∣ \exists δ > 0 : \forall n_{0} > 0 : \exists n > n_{0} : g (n) \geq δ f (n)} .

$\Omega(f(n))=\{ g \mid \exists \delta>0:\forall n_0>0:\exists n>n_0: g(n)\geq \delta f(n)\}\textrm{.}$

（这与Lance的定义相同。）使用此定义。 $f(n)\in\Omega(n^2)$

— 马库斯·里特（Marcus Ritt）
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2

我不知道使用最广泛的方法，但是我相信我知道最古老的用法（无论如何对于计算机科学而言）。

在1965年Hartmanis＆Stearns的论文“关于算法的计算复杂性”中，推论2.1为：

如果和是时间函数，例如则 $U$ $T$ $\inf_{n \rightarrow \infty} \frac{T(n)}{U(n)} \geq 0$ $S_{U} \subseteq S_{T}$

其中是可在计算的所有问题的复杂度类别。对于某些整数以及所有和，T（n）必须服从，但这不必是时间可构造的。 $S_{K}$ $O( K(n) )$ $T(n) \geq n/k$ $k$ $n$ $T(n) \leq T(n+1)$

您的函数遵循的第一条规则，但不遵循第二条规则。 $k = 1$

推论2.2是以上的要求，使用上限，但仍具有这些要求。我猜想随着这些年来算法变得越来越复杂，要求可能已经放宽了。

— Chazisop
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2

我认为我们应该区分两件事：

函数的下限
问题的下限（算法）

对于函数，当我们确定订单时，将随之定义下限/上限。如果阶关系是渐近主化（忽略常数因子）

f ⪯ g : \exists c, n \forall m > n . f (x) \leq c g (x)

$f \preceq g : \exists c,n \forall m>n. \ f(x) \leq c g(x)$

那么该定义是和的通常定义。两者都广泛用于组合领域等其他领域。 $O$ $\Omega$

但是，当我们谈论问题的下限（一种算法）时，我们真正要说的是该问题需要一定数量的资源（用于运行解决问题的算法）。通常，复杂度类是通过类的函数进行参数化的，我们简单地说问题是由函数来界定的，但这仅适用于出色的函数（例如算法的运行时间）是单调等）。在这种情况下，我们要说的是我们需要运行时间来解决该问题，即少于运行时间是不够的，这正式成为Lance的定义，算法的运行时间不在。 $\mathbf{Time}(t(n))$ $n^2$ $n^2$ $o(t(n))$

— 卡韦
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