从图到超图的根本困难是什么？

组合学和计算机科学中有许多示例，我们可以分析图论问题，但对于该问题的超图模拟，我们缺少工具。您为什么认为3均匀超图问题通常比2均匀图问题变得更加困难？根本的困难是什么？

一个问题是，到目前为止，我们对频谱超图理论还没有令人满意的理解。请随时阐明此问题。但是我也在寻找其他使超图变得更加困难的对象的原因。

在这个问题中，我理解“难”不是指“难于计算”，而是指“难于学习”。

图形问题更容易研究（至少对我而言），因为某些概念恰好是等效的。换句话说，如果要将图的问题概括为超图的问题，则需要注意“正确”的概括，以便获得所需的结果。

例如，考虑一棵树。对于图，如果图已连接并且不包含循环，则该图为树。这等效于连接并具有n-1个边（其中n是顶点的数目），并且等效于不包含循环并具有n-1个边。但是，对于3一致的超图，假设3一致的超图是一棵树，如果它已连接并且不包含循环。但是，这不等于被连接并具有n-1个超边缘，也不等于不包含循环且具有n-1个超边缘。

我已经听说过证明统一超图的正则性引理的主要困难是想出正确的正则性定义和相关概念。

当您要考虑“频谱超图理论”时，如果您看到k均匀超图为（k-1）维单纯形复，则可以尝试研究张量或同源性，自然而然地会产生线性代数。我不知道哪一种是针对您的目的的“正确”概括，或者两者都不对。

我认为这在很大程度上是由于劳勒的“双重性的神秘力量”（观察到许多参数化问题在参数= 2的P中，在参数≥3的NP完全中）。图是连接2个顶点的顶点的事物，而超图是连接k≥3的顶点的k个顶点的事物。

因此，例如，2-SAT在P中，本质上是一个图形问题，而3-SAT是3均匀超图上的一个问题，并且是NP完全的。

另一个原因是，对于n大于2的情况，我们对二元关系的了解要多于任何其他n元关系。

自然地，我们考虑对象之间的二元关系，例如邻接关系，非空交集，等价关系等。因此，我们可以根据二元关系定义图，甚至可以基于另一个图上的某些二元关系来定义图。（例如，折线图，集团树，树分解...）

但是对于其他n元关系，我们了解不多。例如，花一些时间来得出有趣的三元关系。（好的，部分是由于我的无知）在三元关系的研究中，特性较弱，工具则少得多。（我们如何定义对称或传递三元关系？它们都是人们可以研究的最重要的关系之一。）

但是我仍然不知道为什么在二元和三元关系之间会发生这种情况。也许像土耳其所说的那样，这个问题很难解决，可能与对P / NP问题的理解有关。

我首先要回答一个错误的问题：“在超图中，哪个问题比在图中困难得多”。在处理图形中最大匹配问题方面的差异给我留下了特别深刻的印象，在超图（一组成对的不相交边）上也是如此，它们可以轻松地为着色，最大独立集，最大集团建模。

然后我注意到这不是您的问题：“两者之间的根本困难是什么？”。

好吧，对于这一点，我会回答：到目前为止，我还没有看到图形和超图之间的许多共同点。名称本身除外。而且很多人都试图将结果从第一个扩展到另一个。

我有机会翻阅Berge的“超图”和Bollobas的“设置系统”的页面：它们包含许多可口的结果，而我发现最有趣的结果几乎没有关于图形的内容。例如Baranyai定理（在Jukna的书中有一个很好的证明）。

我对它们了解不多，但是我现在正在考虑一个超图问题，我只能说我周围没有潜伏的图形。也许我们认为它们“困难”，因为我们只是尝试使用错误的工具来研究它们。我不希望使用数论立即解决我正在研究的图形问题（即使有时会发生）。

哦，还有别的。它们可能很难学习，因为它们组合在一起的数量更多。

对于图形，“尝试所有方法并查看其工作时间”有时是一个好主意，但对于超图，它很快就被数字所挫败。:-)