UPB的多项式算法（不可扩展的产品基础）

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考虑希尔伯特空间 $H = H_1 \otimes \dots \otimes H_n$ 。不可扩展乘积基（UPB）是一组乘积向量 $\vert v_i \rangle = \vert v_i^1 \rangle \otimes \dots \otimes \vert v_i^n \rangle$ 这样：

a）全部 $\vert v_i \rangle$ 互相正交

b）没有与所有正交的乘积向量 $\vert v_i \rangle$

c）基础不平凡，即不跨越 $H$

（这样的碱基对量子信息很重要）

问题：

是否有多项式算法（在 $n$ ）以查找UPB？（请注意，一般而言，UPB的大小没有上限，因此在先验中，它的大小可能是指数的 $n$ ）
是否存在用于检查给定产品基础是否为UPB的多项式算法？（即不可扩展）

还是问题NP完全？

quantum-computing linear-algebra quantum-information

— 马辛·科托夫斯基（Marcin Kotowski）
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我很困惑...不是所有情况下H的标准依据都满足UPB条件吗？还是我缺少其他条件。

— Artem Kaznatcheev

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@Artem：缺少的条件是向量的数量严格小于的维数

H_{1} \otimes \dots \otimes H_{n}

$H_1 \otimes \ldots \otimes H_n$ 。

— 彼得·索尔

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我对问题（1）有些困惑。存在不可扩展的产品基础 $H_1 \otimes H_2 \otimes \ldots \otimes H_n$ 如果 $n\geq 3$ 或者如果 $n=2$ 和 $\dim H_1, \dim H_2 \geq 3$ 。在所有这些情况下，找到一个都很简单。

对于问题（2），该问题等效于检查子空间中是否存在张量积状态，该状态是基数跨越的空间的补充。Leonid Gurvits表明，检查常规子空间是否包含张量积状态是NP难的，因此我怀疑在这种情况下也很难。

— 彼得·索尔
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是的，但是我可能有兴趣寻找尽可能多的不等价（相对于本地unit）的UPB。完全分类仅在2x2x2这样的简单情况下才知道。

— Marcin Kotowski

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完全分类还因另一种简单情况3x3而闻名，这首先在http://arxiv.org/abs/quant-ph/9808030中解决。

该结果还与等级4的任意3x3 PPT纠缠态的构造有关。见论文

http://arxiv.org/abs/1105.3142。

— 林晨
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