痕量当量与LTL当量

我正在寻找两个等效的LTL，但不等效的转换系统的简单示例。

我已经在《模型检查原理》（Baier / Katoen）一书中（Baier / Katoen）读到了跟踪等效性比LTL等效性更好的证据，但是我不确定我是否真的理解它。我无法描述它，也许有一个简单的示例可以直观地看出差异吗？

lo.logic model-checking linear-temporal-logic

— gna
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可能我建议扩展标题中的首字母缩写词。这将帮助其他人找到问题和答案，还可能使您的问题引起那些可以提供良好答复的人的注意。

— 马克·哈曼

更不用说谷歌搜索了:)

— Suresh Venkat

@Marc：使用首字母缩写LTL是绝对标准的-模态逻辑学家喜欢他们的简短名字（想想B，D4.3，KL等）。考虑到我们有标签，我认为标题不应扩展。

— 查尔斯·斯图尔特

这个问题仍然没有很好地定义：您是否允许无限的Kripke结构？您是否考虑混合（最大）有限迹线和无限迹线，或仅允许无限迹线？我问是因为AFAICR Baier＆Katoen仅考虑有限Kripke结构和无限迹线的情况，这排除了Dave在下面的答案。

— Sylvain

@atticae：对于有限的Kripke总结构（以及无限的迹线），我希望LTL等价物和迹线等价物是一样的……我会考虑的。

— 西尔万

Answers:

仔细阅读Baier和Katoen，他们正在考虑有限和无限过渡系统。有关定义，请参见该书的第20页。

首先，采用简单的过渡系统： $EVEN$

引理：没有LTL公式可以识别语言 Traces 。一个字符串当且仅当偶数。参见Wolper '81。可以通过先显示证明这一点，与不LTL式 “下一次”运算符可以区分形式的弦对于，通过简单的诱导。 $L_{even} =$ $(EVEN)$ $c \in L_{even}$ $c_i = a$ $i$ $n$ $p^i\neg p p^\omega$ $i> n$

考虑以下（无限的，不确定的）转换系统。请注意，有两种不同的初始状态： $NOTEVEN$

在此处输入图片说明

它的痕迹，正是。 $\{a,\neg a\}^\omega - L_{even}$

$NOTEVEN \vDash \phi$ $EVEN \not\vDash \neg\phi$

现在，考虑这个简单的过渡系统： $TOTAL$

总TS

它的痕迹显然是。 $\{a,\neg a\}^\omega$

因此，和不等效。假设它们是LTL不等价的。然后我们将得到一个LTL公式，使得和。但是，然后是。这是一个矛盾。 $NOTEVEN$ $TOTAL$ $\phi$ $NOTEVEN \vDash \phi$ $TOTAL \not\vDash \phi$ $EVEN\vDash \neg\phi$

感谢Sylvain在此答案的第一个版本中捕获了一个愚蠢的错误。

— 马克·瑞特布拉特
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嗯，这还不是很清楚。我是否应该使矛盾的步骤更明确？过渡系统也不

— 尽如人意

您误解了语言：您提出的系统等同于公式。正确的系统应该在最初的非确定性的选择，标记的状态去一个状态之间通过标记和一个没有标记。无论和有过渡返回。

L_{even}

$L_\text{even}$

a \land G ((a \to X \neg a) \land (\neg a \to X a))

$a\wedge\mathsf{G}((a\to\mathsf{X}\neg a)\wedge(\neg a\to\mathsf{X}a))$

a

$a$

q_{0}

$q_0$

q_{1}

$q_1$

a

$a$

q_{2}

$q_2$

a

$a$

q_{1}

$q_1$

q_{2}

$q_2$

q_{0}

$q_0$

— Sylvain

@西尔万你是正确的。我试图简化，最后却打破了它！我来解决这个问题。

— Mark Reitblatt 2011年

您是否可以“反转”该参数，以使最终比较的两个系统是

和

而不是

和

？

E V E N

$\mathit{EVEN}$

T O T A L

$\mathit{TOTAL}$

N O T E V E N

$\mathit{NOTEVEN}$

T O T A L

$\mathit{TOTAL}$

— 西尔万

@马克Reitblatt：从你有什么理由到底那句话“但随后，

。”？我看不到导致这一点的论点，这对于显示矛盾至关重要。

E V E N ⊨ \neg ϕ

$EVEN\vDash \neg\phi$

— magnattic

如果您的LTL定义包含“下一个”运算符，则以下内容适用。你有两个迹线组的和。令为轨迹的任何有限前缀。也必须是轨迹的有限前缀，因为否则您可以将其转换为公式，该公式只是检测差异的一系列next运算符。因此，字的每个有限前缀都必须是字的有限前缀，反之亦然。这意味着，如果，则需要一个单词，以便其所有有限前缀都出现在但 $A$ $B$ $b$ $B$ $b$ $A$ $B$ $A$ $A \not= B$ $b$ $A$ 本身不出现在。如果和是由有限转换系统生成的，我认为这是不可能的。假设无限过渡系统，您可以定义 $b$ $A$ $A$ $B$

和，其中是例如无穷词。 $A = \{a,b\}^\omega$ $B = A \setminus \{w\}$ $w$ $aba^2b^2a^3b^3a^4b^4\cdots$

因为是的子集，所以对于通用的任何LTL公式对于通用。任何适用于 LTL公式也适用于 ; 为了矛盾，不作假设，但是对于每个元素（即，对于单词期望的宇宙的每个元素）成立，但对。然后计算为TRUE上但不能在宇宙的任何其他字（和LTL下否定闭合），并且没有LTL式，可以是只为真 $A$ $B$ $B$ $A$ $B$ $A$ $\varphi$ $B$ $w$ $w$ $\neg\varphi$ $w$ $w$ 因为每个仅接受一个无限词的Buchi自动机必须严格地循环，而不是。 $w$

— 蚂蚁辉马
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这些是有限的痕迹。假设你将它们与延伸到无限痕迹

在结束时，将式

接受所述第二组但拒绝该第一。

a^{ω}

$a^\omega$

\neg (b \land X (b \land X G a))

$\neg (b\wedge X (b \wedge X G a))$

— Mark Reitblatt 2011年

您是对的，我写了一个新答案:)大声笑，我从理论CS的那段日子就想起LTL没有下一个运算符:)

— antti.huima 2011年

我认为这可以解决问题。

— 戴夫·克拉克

我认为它也可以。

— Mark Reitblatt 2011年

这个答案并不令人满意。OP要求使用过渡系统，但是答案是关于语言的，并且根据Buchi自动机和

常规语言来证明是合理的，这在所引用的文本中没有。

ω

$\omega$

— Mark Reitblatt 2011年